Odredi sve parove $(x,y)$ realnih brojeva takvih da vrijedi $\begin{aligned} |x|+2|y|&=2,\\ \bigl||x|-|y|\bigr|&=1. \end{aligned}$

Odredi sve četvorke $(a,b,c,d)$ prostih brojeva takvih da vrijedi $2a+4b+5c+8d=138$ .

Neka je $A$ umnožak brojeva $1-\frac1{n^2}$ za sve prirodne brojeve $n$ od $2$ do $2027$ , tj. $A=\left(1-\frac1{2^2}\right)\cdot\left(1-\frac1{3^2}\right)\cdot \left(1-\frac1{4^2}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1-\frac1{2027^2}\right).$ Riješi jednadžbu $x+\frac{x}{1+2}+\frac{x}{1+2+3}+\cdots+\frac{x}{1+2+\cdots+2026}=A,$ pri čemu je na lijevoj strani zbroj $2026$ pribrojnika oblika $\frac{x}{1+2+\cdots+n}$ .

Neka su $\overline{AE}$ i $\overline{AF}$ visine paralelograma $ABCD$ pri čemu je točka $E$ na dužini $\overline{BC}$ , a točka $F$ točka na dužini $\overline{CD}$ . Ako je $|AE|=32$ , $|AF|=20$ i $\cos|\angle EAF|=\frac13$ , kolika je površina četverokuta $AECF$ ?

Na metalnu ploču postavljaju se magneti, crveni i plavi, tako da na svakom polju bude po jedan magnet. Magnete iste boje ne razlikujemo. a) Na koliko se načina može popuniti jedan redak od šest polja tako da broj plavih magneta u tom retku bude paran? b) Na koliko se načina može popuniti ploča dimenzija $6\times6$ tako da u svakom retku i u svakom stupcu bude paran broj plavih magneta?

Odredi sve peteroznamenkaste brojeve kojima aritmetička sredina prve i treće znamenke iznosi $7$ , druge i četvrte $5$ , treće i pete $4$ , a četvrte i prve znamenke $5$ .

Odredi najmanju moguću duljinu stranice $\overline{BC}$ trokuta $ABC$ u kojem vrijedi $|\angle BAC|=60^\circ\qquad\text{i}\qquad |AB|+3|AC|=\sqrt2.$

Trokutu $ABC$ opisana je kružnica $k$ . Duljine lukova $\widehat{BC}$ , $\widehat{CA}$ i $\widehat{AB}$ kružnice $k$ odnose se kao $3:2:7$ . Izračunaj vjerojatnost da se slučajno odabrana točka kruga omeđenoga kružnicom $k$ nalazi unutar trokuta $ABC$ .

Odredi sve realne brojeve $p$ , $q$ i $r$ za koje je $[-1,2\rangle\setminus\{r\}$ skup svih rješenja nejednadžbe $\frac{-2px^2+p^2x}{0.25q^3x^2+q^2x}\geq0.$

Lorna je stavila kuglice u deset kutija tako da je u svakoj kutiji barem jedna kuglica i da ne postoje dvije kutije u kojima je jednak broj kuglica. Tada je primijetila da, koju god kutiju odabrala, može uzeti sve kuglice iz nje i ubaciti ih u neke od preostalih kutija tako da u svakoj od tih devet kutija bude jednak broj kuglica. Koliki je najmanji mogući ukupan broj kuglica u svih $10$ kutija?

Odredi sva rješenja nejednadžbe $\sin x\cos x+\frac{\sqrt3}{2}\cos2x\leq-\frac12$ u intervalu $[-\pi,\pi]$ .

Dva su vrha trokuta $ABC$ točke $A(2,-3)$ i $B(3,-2)$ . Težište toga trokuta leži na pravcu $3x-y-8=0$ , a njegova površina iznosi $\frac32$ . Odredi sve moguće koordinate vrha $C$ .

Odredi sve prirodne brojeve $n$ takve da je $\log_2(n^2+295)$ također prirodan broj.

Neka je $ABCD$ konveksan četverokut takav da vrijedi $|AB|=|CD|=5,\qquad |BC|=\sqrt{65}\qquad\text{i}\qquad |AD|=7.$ Dijagonale tog četverokuta sijeku se u točki $P$ . Ako je zbroj površina trokuta $PAB$ i $PCD$ jednak zbroju površina trokuta $PBC$ i $PDA$ , kolika je površina četverokuta $ABCD$ ?

Za ekipno natjecanje iz matematike prijavili su se učenici triju razreda, 3.a, 3.b i 3.c. Iz svakoga od tih triju razreda prijavila su se po dva mladića i dvije djevojke. Ako se od svih prijavljenih učenika na slučajan način odabere četveročlana ekipa, kolika je vjerojatnost da će u ekipi biti predstavnici svakoga razreda te barem jedan mladić i barem jedna djevojka?

Dokaži da za svaki prirodni broj $n\geq2$ vrijedi $\sqrt{1+\frac1{1^2}+\frac1{2^2}}+ \sqrt{1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}}+\cdots+ \sqrt{1+\frac1{(n-1)^2}+\frac1{n^2}}=n-\frac1n.$

Odredi sve kompleksne brojeve $z$ za koje vrijedi $\operatorname{Re}(z^4)-\frac12\operatorname{Im}(z^4) =\left(\operatorname{Re}(z^2)\right)^2$ i $\operatorname{Im}(z^2)=2\sqrt2.$

Neka je $ABC$ trokut s pravim kutom u vrhu $C$ . Simetrala kuta $\angle BAC$ siječe opisanu kružnicu tog trokuta u točkama $A$ i $D$ . Neka je $E$ točka na pravcu $AC$ takva da je dužina $\overline{AD}$ okomita na dužinu $\overline{DE}$ . Ako je točka $C$ polovište dužine $\overline{AE}$ , odredi $|\angle BAC|$ .

Ana i Tea naizmjence bacaju asimetrični novčić kod kojega pismo pada s vjerojatnošću $p$ . Pobjeđuje ona koja prva dobije pismo. Ako Tea baca prva, a Ana pobjeđuje s vjerojatnošću $0.25$ , odredi $p$ .

Odredi najmanji prirodni broj koji ima točno $30$ djelitelja.

Broj $\frac{\left(10^{2024}+10^{2026}\right)^2}{10^{2023}+10^{2025}}$ zapiši u znanstvenom zapisu.

Na stranici $\overline{BC}$ trokuta $ABC$ nalazi se točka $D$ takva da vrijedi $|AB|=|AD|=|DC|$ te je $|\angle BAD|=70^\circ$ . Odredi veličinu kuta $\angle ACB$ .

Odredi najmanje prirodne brojeve $x$ , $y$ i $z$ za koje vrijedi: - brojevi $x-1$ , $y$ i $z$ su djeljivi brojem $2$ , - brojevi $x$ , $y-2$ i $z$ su djeljivi brojem $3$ , - brojevi $x$ , $y$ i $z-2$ su djeljivi brojem $5$ .

Na kraju sezone prodavač nudi akciju: ako netko kupi dva para tenisica, za jeftiniji par plaća $50\,\%$ pune cijene. Teo je iskoristio akciju i kupio dva različita para tenisica za ukupno $95$ eura. Na taj način je potrošio $20\,\%$ manje novca nego da je oba para kupio po redovnoj cijeni. Kolika je cijena svakog para tenisica bez popusta?

Matko ima četiri nove drvene bojice (crvenu, plavu, zelenu i žutu) i na papiru nacrtan kvadrat $ABCD$ kojem je duljina stranica jednaka duljini bojica. Na koliko načina Matko može položiti na svaku stranicu kvadrata po jednu bojicu tako da vrh crvene bojice i vrh plave bojice ne budu u istom vrhu kvadrata?

Izračunaj površinu peterokuta $ABCDE$ sa slike ako je $|AE|=13\ \mathrm{cm}$ , $|BC|=7\ \mathrm{cm}$ , $|CD|=6\ \mathrm{cm}$ , $|DE|=8\ \mathrm{cm}$ i vrijedi $|\angle BAE|=|\angle CBA|=|\angle CDE|=90^\circ$ .

Odredi posljednju znamenku zbroja $1^{2026}+2^{2026}+3^{2026}+4^{2026}+5^{2026}+6^{2026}+7^{2026}+8^{2026}+9^{2026}+10^{2026}.$

Kvadratna funkcija $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=ax^2+bx+c$ postiže najveću vrijednost $8$ za $x=-1$ i vrijedi $f(0)=6$ . Odredi nultočke funkcije $g$ ako za svaki $x\in\mathbb{R}$ vrijedi $g(x)=f(x+1)$ .

U skupu realnih brojeva riješi jednadžbu $x|x+1|+1=\frac{|x+1|}{x+1}.$

Marko u školu udaljenu $3\ \mathrm{km}$ ide biciklom. Prvoga je dana do škole vozio prosječnom brzinom $v$ . Drugoga je dana vozio prosječnom brzinom za $10\ \mathrm{km/h}$ manjom nego prvoga dana i trebalo mu je tri minute više da stigne do škole. Kojom je prosječnom brzinom Marko vozio prvoga dana i koliko mu je vremena trebalo do škole?

U knjižnici s nekoliko soba spremljeno je $1260$ knjiga. U svakoj je sobi jednak broj ormara, svaki ormar ima jednak broj polica i na svakoj je polici jednak broj knjiga. Broj soba manji je od broja polica u ormaru, broj polica u ormaru manji je od broja ormara u sobi, a broj ormara u sobi manji je od broja knjiga na polici. Ako je broj knjiga na polici manji od deset, koliko je ormara u toj knjižnici?

Odredi sve realne brojeve $x$ i $y$ za koje vrijedi: $\begin{cases} 2\sqrt{x+1}+\dfrac{4}{\sqrt{y-2}}=7,\\[4pt] \dfrac{3}{\sqrt{x+1}}-2\sqrt{y-2}=-7. \end{cases}$

Odredi sve realne brojeve $k$ za koje jednadžba $x^2-2kx+2x+k^2+k-2=0$ ima realna i različita rješenja, a zbroj kvadrata rješenja jednadžbe manji je od $20$ .

Trokut $ABC$ je jednakokračan. Točka $P$ polovište je osnovice $\overline{BC}$ , a točka $D$ polovište kraka $\overline{AC}$ toga trokuta. Dužine $\overline{BD}$ i $\overline{AP}$ sijeku se u točki $S$ . Okomica iz točke $P$ na dužinu $\overline{BS}$ siječe tu dužinu u točki $N$ i vrijedi $|BN|:|NS|=2:1$ . Ako je $|BD|=27\ \mathrm{cm}$ , koliko iznose duljine stranica trokuta $ABC$ ?

U skupu realnih brojeva riješi jednadžbu $\sqrt[4]{\frac{3^{12}+3^{x+1}}{3^5+3^x}}=3.$

Neka je $x$ realan broj takav da je $-\frac\pi2<x<0$ i $\sin x=-\frac35$ . Odredi vrijednost izraza $\frac{\operatorname{tg}x+\cos\left(x-2^{2026}\pi\right)} {\operatorname{ctg}x+\sin(x-2025\pi)}.$

Odredi sve šesteroznamenkaste brojeve oblika $\overline{579abc}$ koji su djeljivi s $5$ , $7$ i $9$ .

Teo ima vrećicu s $9$ loptica, od kojih su $4$ zelene i $5$ crvenih. Nasumično izvlači loptice iz vrećice, jednu po jednu, i stavlja ih na stol, sve dok na stolu ne budu dvije loptice iste boje. Koja je vjerojatnost da se u trenutku kada Teo stane s izvlačenjem na stolu nalaze loptice obje boje?

Odredi najveću i najmanju moguću vrijednost izraza $5\sin^2x-3\cos^2x-2\sin x$ , pri čemu je $x$ realan broj.

Odredi sva realna rješenja sustava jednadžbi $\begin{cases} \log_x y=\log_y x,\\ \log_x(x-14y)=\log_y(x-8y). \end{cases}$