4. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo broj sati potrebnih da svaki od trojice prijatelja sam oboji ogradu.

Fran: $x$ sati, Tin: $x+3$ sati, Luka: $x-2$ sata. Uočimo da $x$ mora biti veći od $2$.

Tada promatrajući koliko svaki od njih oboji po jednom satu dobivamo jednadžbu

$$\frac1x+\frac1{x+3}+\frac1{x-2}=\frac14.$$

Napišimo jednadžbu u sljedećem obliku

$$\frac1x+\frac1{x-2}=\frac14-\frac1{x+3}.$$

Svedemo li obje strane jednadžbe na zajednički nazivnik, dobivamo

$$\frac{2x-2}{x(x-2)}=\frac{x-1}{4(x+3)},$$

odnosno

$$\frac{2(x-1)}{x(x-2)}=\frac{x-1}{4(x+3)}.$$

Budući da je $x>2$ nakon dijeljenja s $(x-1)$ slijedi

$$\frac2{x(x-2)}=\frac1{4(x+3)}.$$

Tada redom slijede jednakosti

$$8(x+3)=x(x-2),$$ $$8x+24=x^2-2x,$$ $$x^2-10x-24=0.$$

Zapisivanjem srednjeg člana kao $-12x+2x$ i pogodnim grupiranjem posljednji izraz pišemo u obliku umnoška

$$(x-12)(x+2)=0.$$

Jedino faktor $x-12$ može biti jednak nula, pa je rješenje početne jednadžbe $x=12$. Tada Franu treba $12$, Tinu $15$, a Luki $10$ sati da samostalno oboji ogradu.

Drugo rješenje.

Uz iste oznake kao u prvom rješenju navodimo drugačiji postupak rješavanja dobivene jednadžbe.

$$\frac1x+\frac1{x+3}+\frac1{x-2}=\frac14$$ $$4(x+3)(x-2)+4x(x-2)+4x(x+3)=x(x+3)(x-2)$$ $$4(x^2+x-6)+4x^2-8x+4x^2+12x=x(x^2+x-6)$$ $$x^3-11x^2-14x+24=0$$ $$x^3-x^2-10x^2+10x-24x+24=0$$ $$x^2(x-1)-10x(x-1)-24(x-1)=0$$ $$(x-1)(x^2-10x-24)=0$$ $$(x-1)(x^2-12x+2x-24)=0$$ $$(x-1)(x(x-12)+2(x-12))=0$$ $$(x-1)(x-12)(x+2)=0$$ $$x_1=1,\qquad x_2=12,\qquad x_3=-2$$

Jedino moguće rješenje je $x=12$.

Franu treba $12$, Tinu $15$, a Luki $10$ sati da samostalno oboji ogradu.