Odredi sve parove $(x,y)$ realnih brojeva za koje vrijedi $\begin{aligned} |2x+1|+3x-2y&=-14,\\ |3x+1|+x+4y&=25. \end{aligned}$

Dokaži da za sve pozitivne realne brojeve $a$ , $b$ i $c$ za koje je $a\geq c$ i $b\geq c$ vrijedi nejednakost $\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\leq\sqrt{ab}.$

Vrhovima $B$ , $C$ i $D$ kvadrata $ABCD$ prolaze, redom, međusobno paralelni pravci $b$ , $c$ i $d$ . Ako je udaljenost pravaca $b$ i $c$ jednaka $5$ , a udaljenost pravaca $b$ i $d$ jednaka $7$ , kolika može biti površina kvadrata $ABCD$ ?

Ploču na slici treba prekriti pločicama dimenzija $1\times2$ . Svaka pločica prekriva točno dva polja. Pločice se smiju rotirati i ne smiju se preklapati. Dokaži da je broj načina na koje se to može napraviti jednak zbroju kvadrata dvaju prirodnih brojeva.

Odredi sve trojke prirodnih brojeva $(a,b,c)$ takve da vrijedi $2^a+2b^2=3^c+67.$

Odredi najveću moguću površinu pravokutnika upisanog u pravokutni trokut s katetama duljina $5$ i $12$ tako da se dva vrha pravokutnika nalaze na hipotenuzi, a po jedan vrh na svakoj kateti tog trokuta.

Odredi broj različitih vrijednosti koje poprima izraz $\frac{n^2-2}{n^2-n+2},$ za $n\in\{1,2,3,\ldots,2026\}$ .

Neka je $m$ prirodan broj i neka su $a$ i $b$ prirodni brojevi takvi da je $m^2<a<m^2+m \qquad \text{i} \qquad m^2<b<m^2+m.$ Odredi sve prirodne djelitelje $d$ umnoška $ab$ za koje vrijedi $m^2<d<m^2+m$ .

Blok je figura koja se sastoji od šest jediničnih kvadrata kao što je prikazano na slici. Odredi najveći mogući broj blokova koje je moguće postaviti na ploču dimenzija $6\times11$ tako da svaki prekriva točno šest polja. Blokovi se mogu rotirati i ne smiju se preklapati.

Neka je $H$ ortocentar šiljastokutnog trokuta $ABC$ i $M$ polovište stranice $\overline{AB}$ . Pravac $HM$ siječe pravce $AC$ i $BC$ redom u točkama $A_1$ i $B_1$ . Neku su $A_2$ i $B_2$ redom nožišta okomica iz $A_1$ i $B_1$ na pravac $CH$ . Dokaži da se pravci $AB_2$ i $BA_2$ sijeku na opisanoj kružnici trokuta $ABC$ .

Neka je $A=\frac{\sin1^\circ}{\cos0^\circ\cos1^\circ} +\frac{\sin5^\circ}{\cos2^\circ\cos3^\circ} +\cdots+ \frac{\sin177^\circ}{\cos88^\circ\cos89^\circ}$ i $B=\operatorname{tg}91^\circ+\operatorname{tg}92^\circ+\cdots+\operatorname{tg}179^\circ+\operatorname{tg}180^\circ.$ Izračunaj $A+B$ .

Odredi sva realna rješenja jednadžbe $\left(2+\sqrt5\right)^{x^2-4x+2} +\left(\sqrt5-2\right)^{x^2-4x+2} =18.$

Postoje li prirodni brojevi $a$ , $b$ i $c$ takvi da su $\log_a(bc+1),\qquad \log_b(ca+1)\qquad \text{i}\qquad \log_c(ab+1)$ također prirodni brojevi?

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut u kojem je $|BC|<|CA|$ . Središte njegove upisane kružnice je točka $I$ , a $k$ mu je opisana kružnica. Neka su $M$ i $N$ redom polovišta kraćih lukova nad tetivama $\overline{BC}$ i $\overline{CA}$ kružnice $k$ . Pravac kroz $C$ paralelan s $MN$ ponovno siječe kružnicu $k$ u točki $P$ . Pravac $PI$ ponovno siječe kružnicu $k$ u točki $T$ . Dokaži da vrijedi $|MP|\cdot|MT|=|NP|\cdot|NT|.$

Na pravcu $p$ označeno je $2026$ točaka na jednakim razmacima. U jednoj poluravnini (s iste strane pravca $p$ ) označene su sve točke koje zajedno s dvjema označenim točkama pravca $p$ čine vrhove jednakostraničnog trokuta. Neka je $\mathcal T$ skup svih označenih točaka, uključujući one na pravcu $p$ . Josip može brisati točke skupa $\mathcal T$ tako da u svakom koraku obriše po tri točke koje su vrhovi nekog jednakostraničnog trokuta. Korak ponavlja sve dok mu ne ostane točno jedna točka. Točka skupa $\mathcal T$ koja može ostati posljednja neobrisana naziva se Josipova. Odredi broj Josipovih točaka.

Neka je $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ nekonstantan aritmetički niz realnih brojeva takav da postoji prirodni broj $r$ za koji je $a_{r+1}+a_{r+2}=a_1+a_2+\cdots+a_{3r+2}.$ Dokaži da niti jedan član tog niza nije jednak $0$ .

Neka je $ABC$ trokut s pravim kutom u vrhu $C$ . Neka je $D$ nožište visine iz vrha $C$ . Kružnica sa središtem u $C$ polumjera $|CD|$ siječe opisanu kružnicu trokuta $ABC$ u točkama $E$ i $F$ . Pravac $EF$ siječe dužinu $\overline{CD}$ u točki $P$ . Dokaži da je $P$ polovište dužine $\overline{CD}$ .

Za uređenu trojku prirodnih brojeva $(a,b,c)$ kažemo da je morska ako su $a$ , $b$ i $c$ međusobno različiti, te je broj $ac$ djeljiv brojevima $a+b$ i $b+c$ . Dokaži da a) za svaki prirodni broj $d>1$ postoji morska trojka $(a,b,c)$ za koju je $M(a,b,c)=d$ . b) ne postoji morska trojka $(a,b,c)$ za koju je $M(a,b,c)=1$ . Napomena. $M(a,b,c)$ označava najveći zajednički djelitelj brojeva $a$ , $b$ i $c$ .

Odredi koliko ima polinoma s realnim koeficijentima $f(x)=x^{2026}+a_{2025}x^{2025}+\ldots+a_1x+a_0$ takvih da je $f(2026)=0$ i da postoji polinom $g(x)$ s realnim koeficijentima takav da jednakost $(f(x+1)-f(x))\cdot g(x)=f(x)$ vrijedi za svaki realan broj $x$ .

Za arhipelag od $2026$ otoka kažemo da je dobro povezan ako među svakih pet različitih otoka, postoje tri takva da između svaka dva od njih postoji dvosmjerna brodska linija. Odredi najveći prirodni broj $N$ takav da u svakom dobro povezanom arhipelagu postoji niz od barem $N$ različitih otoka takav da su svaka dva uzastopna, te prvi i posljednji otok u nizu povezani brodskom linijom.

Izračunaj $2\cdot\frac{2027^3+2025^3}{2^2+2027\cdot2025} -4052\cdot\frac{2027^3-2025^3}{4052^2-2027\cdot2025}.$

Neka je $ABC$ pravokutni trokut s katetama duljina $|AC|=4$ i $|BC|=3$ . Neka je $D$ točka na hipotenuzi $\overline{AB}$ takva da trokuti $ADC$ i $BCD$ imaju jednake opsege. Koliko iznosi površina trokuta $BCD$ ?

Neka su $a$ , $b$ , $c$ i $d$ realni brojevi takvi da vrijedi $abcd\neq0$ i da je $a=b-c,\qquad b=c-d,\qquad c=d-a.$ Odredi vrijednost izraza $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}.$

Odredi sve prirodne brojeve $n$ takve da je broj $n^2+1$ djeljiv brojem $n+13$ .

Spremajući se za natjecanje iz matematike, Marta je u pet dana riješila ukupno $31$ zadatak. Svakog je dana riješila više zadataka nego prethodnog, a petog je dana riješila točno tri puta više zadataka nego prvog. Koliko je zadataka mogla riješiti četvrtog dana?

Odredi sve parove $(a,b)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $a^2=b(b+7)$ .

U svako polje tablice $5\times5$ upisan je po jedan cijeli broj pri čemu se u pojedinom retku ili stupcu isti broj nalazi najviše tri puta. Razlika bilo koja dva broja u istom retku ili stupcu iznosi najviše $2$ . U tablici se nalazi broj $0$ , ali ne i broj $4$ . Odredi najveći mogući zbroj svih brojeva u tablici.

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje vrijedi $\frac{3-2\sqrt{x+6}}{\sqrt{x-2}-2}\geq\sqrt{x+6}.$

Grafovi funkcija $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=-x^2+9x-20$ i $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $g(x)=x+3$ nacrtani su u koordinatnoj ravnini. Odredi najveću moguću površinu pravokutnog trokuta $ABC$ s pravim kutom u vrhu $C$ smještenog tako da su mu vrhovi $A$ i $C$ na osi apscisa, vrh $A$ pripada grafu funkcije $f$ , a vrh $B$ grafu funkcije $g$ i pritom je apscisa točke $B$ manja od apscise točke $A$ , a njena ordinata veća od ordinate točke $A$ .

Zadan je pravokutan trokut opsega $60$ čija je visina na hipotenuzu duljine $12$ . Odredi duljine stranica tog trokuta.

Odredi sve realne brojeve $r$ za koje su sva rješenja jednadžbe $x^2-19x+r=0$ kubovi cijelih brojeva.

U svako polje pravokutne tablice upisan je po jedan realan broj tako da zbroj brojeva u svakom retku tablice iznosi $1$ , a zbroj brojeva u svakom stupcu tablice iznosi $2$ . (a) Može li tablica imati točno $200$ polja? (b) Može li tablica imati točno $2000$ polja?

Neka je $ABCD$ konveksan četverokut takav da je $|AB|=4$ , $|BC|=7$ , $|AD|=5$ , $|\angle CBA|=90^\circ$ , te su kutovi $\angle ADC$ i $\angle DCB$ šiljasti i međusobno sukladni. Odredi duljinu dužine $\overline{CD}$ .

Neka su $x$ i $y$ racionalni brojevi takvi da su $x+y$ i $x^2+y^2$ cijeli brojevi. Jesu li nužno $x$ i $y$ cijeli brojevi?

Odredi sve parove $(x,y)$ pozitivnih realnih brojeva za koje vrijedi $\begin{cases} y^{x^2-7x+12}=1\\ x+y=6. \end{cases}$

Ako je $\sin x+\cos x=1.4$ , odredi $\operatorname{tg}^2x+\operatorname{ctg}^2x$ .

Lukas je odlučio napraviti snjegovića od tri kugle čiji su polumjeri $30$ cm, $26$ cm i $18$ cm. Dvije veće kugle prerezao je tako da oba presjeka budu krugovi polumjera $24$ cm, te je odbacio manje dijelove, a veće dijelove stavio jedan na drugi, spajajući ih duž tog kruga. Na kraju je na vrh položio najmanju kuglu. Kolika je ukupna visina Lukasovog snjegovića?

Za realne brojeve $a$ , $b$ , $c$ , $d$ veće od $1$ vrijedi $\log_ba\cdot\log_dc=1$ . Odredi vrijednost izraza $\frac{a^{\log_bc}\cdot b^{\log_cd}\cdot c^{\log_da}\cdot d^{\log_ab}}{abcd}.$

Polja pravokutne ploče s $2026$ redaka i $100$ stupaca obojena su naizmjence crno i bijelo, kao na šahovskoj ploči. Skakavac koji se nalazi na nekom polju ploče može skočiti na bilo koje polje iste boje u istom retku, ili bilo koje polje različite bolje u istom stupcu. Koliko se najviše skakavaca može rasporediti na toj ploči tako da niti jedan skakavac ne može skočiti na polje na kojem se već nalazi neki drugi skakavac?

Odredi sve prirodne brojeve $n$ takve da je umnožak prvih $n$ prirodnih brojeva djeljiv zbrojem prvih $n$ prirodnih brojeva.