3. Zadatak

Neka su pravci $y=kx+l$ i $y=-\dfrac1kx+m$ međusobno okomite tangente te elipse.

Iz uvjeta dodira tih pravaca s elipsom dobivamo: $a^2k^2+b^2=l^2$ i $\dfrac{a^2}{k^2}+b^2=m^2$,

odnosno (množenjem s $k^2$), $a^2+k^2b^2=k^2m^2$, što zbrajanjem daje

$$k^2m^2+l^2=a^2(k^2+1)+b^2(k^2+1)=(k^2+1)(a^2+b^2).$$

Izjednačavanjem $kx+l=-\dfrac1kx+m$ dobivamo koordinate sjecišta $T(x,y)$ tih tangenti:

$$x=\frac{k(m-l)}{k^2+1}\quad\text{i}\quad y=\frac{k^2(m-l)}{k^2+1}+l=\frac{k^2m+l}{k^2+1}.$$

Dalje sređujemo:

$$\begin{aligned}x^2+y^2&=\frac{k^2(m-l)^2}{(k^2+1)^2}+\frac{(k^2m+l)^2}{(k^2+1)^2}\\&=\frac{k^2m^2-2k^2ml+k^2l^2+k^4m^2+l^2+2k^2ml}{(k^2+1)^2}\\&=\frac{l^2(k^2+1)+k^2m^2(k^2+1)}{(k^2+1)^2}=\frac{k^2m^2+l^2}{k^2+1}\\&=\frac{(k^2+1)(a^2+b^2)}{k^2+1}=a^2+b^2.\end{aligned}$$

Dakle, sva sjecišta zadanih tangenti leže na kružnici koja je dana jednadžbom $x^2+y^2=a^2+b^2$.