1. Zadatak

Zadatak rješavamo matematičkom indukcijom.

Baza indukcije: $n=1$, $\dfrac{5!}{40}=3$, što je prirodan broj.

Korak indukcije:

Pretpostavimo da je $\dfrac{(5k)!}{40^kk!}$ prirodan broj za neki prirodan broj $k$.

Za $n=k+1$ imamo

$$\frac{[5(k+1)]!}{40^{k+1}(k+1)!}=\frac{(5k)!}{40^kk!}\frac{(5k+1)(5k+2)(5k+3)(5k+4)(5k+5)}{40(k+1)}.$$

Nakon skraćivanja, dobivamo

$$\frac{[5(k+1)]!}{40^{k+1}(k+1)!}=\frac{(5k)!}{40^kk!}\cdot\frac{(5k+1)(5k+2)(5k+3)(5k+4)}8.$$

Prvi faktor je prirodan broj po pretpostavci. U brojniku drugog faktora je produkt 4 uzastopna prirodna broja, od kojih su dva parna, a jedan od njih je djeljiv s 4, pa je produkt djeljiv s 8. Zbog toga je drugi faktor, a onda i umnožak, prirodan broj.

Po principu matematičke indukcije slijedi da je $\dfrac{(5n)!}{40^nn!}$ prirodan broj za svaki $n\in\mathbb N$.