Prvo rješenje.
Uvjet da su sin(β+γ−α), sin(γ+α−β), sin(α+β−γ) uzastopni članovi aritmetičkog niza može se zapisati kao
sin(β+γ−α)+sin(α+β−γ)=2sin(γ+α−β).
Primjenom formule za pretvaranje sume sinusa u produkt trigonometrijskih funkcija i adicijske formule za sinus dobivamo
2sin2β+γ−α+α+β−γcos2β+γ−α−α−β+γsinβcos(γ−α)sinβ(cos(γ−α)+cos(γ+α))sinβ⋅2cosγcosα=2(sin(γ+α)cosβ−cos(α+γ)sinβ)=sin(γ+α)cosβ−cos(α+γ)sinβ=sin(γ+α)cosβ=(sinγcosα+cosγsinα)cosβ.
Dijeljenjem s cosαcosβcosγ dobivamo
2tgβ=tgγ+tgα,
što znači da su tgα, tgβ, tgγ uzastopni članovi aritmetičkog niza.
Drugo rješenje.
Uvjet da su sin(β+γ−α), sin(γ+α−β), sin(α+β−γ) uzastopni članovi aritmetičkog niza se može napisati kao
sin(γ+α−β)−sin(β+γ−α)=sin(α+β−γ)−sin(γ+α−β).
Korištenjem formule za pretvaranje razlike sinusa u produkt, dobivamo
2cosγ⋅sin22(α−β)=2cosα⋅sin22(β−γ),
odnosno
cosγ⋅sin(α−β)=cosα⋅sin(β−γ).
Primjenom adicijskih formula za sinus imamo
cosγsinαcosβ−cosγcosαsinβ=cosαsinβcosγ−cosαcosβsinγ.
Dijeljenjem s cosαcosβcosγ dobivamo
tgα−tgβ=tgβ−tgγ,
što znači da su tgα, tgβ i tgγ uzastopni članovi aritmetičkog niza.
