5. Zadatak

Rekurzivni uvjet možemo napisati kao $na_{n+1}-(n+1)a_n=n$. Uvrštavajući redom brojeve $1,2,\ldots,2008$ u tu jednakost, dobivamo:

$$\begin{aligned}1\cdot a_2-2\cdot a_1&=1,\\2\cdot a_3-3\cdot a_2&=2,\\3\cdot a_4-4\cdot a_3&=3,\\&\vdots\\2008\cdot a_{2009}-2009\cdot a_{2008}&=2008.\end{aligned}$$

Zbrojimo li ovih 2008 jednakosti, dobivamo

$$-2\cdot(a_1+a_2+\ldots+a_{2008})+2008\cdot a_{2009}=1+2+\ldots+2008.$$

Ukoliko traženu sumu označimo s $S$, prethodna jednakost postaje

$$\begin{aligned}-2S&=(1+2+\ldots+2008)-2008\cdot2009,\\-2S&=\frac12\cdot2008\cdot2009-2008\cdot2009.\end{aligned}$$

Konačno je $S=\dfrac14\cdot2008\cdot2009=1\,008\,518$.