7. Zadatak

Prvo rješenje.

Jednadžba ima dva različita realna rješenja, pa je $D=b^2-4ac>0$.

Rješenja su

$$x_1=\frac{-b-\sqrt D}{2a}\qquad\text{i}\qquad x_2=\frac{-b+\sqrt D}{2a}.$$

Da bi oba rješenja bila u intervalu $(0,\frac12]$ mora biti $0<x_1<x_2\le\frac12$, odnosno

$$0<\frac{-b-\sqrt D}{2a}\qquad\text{i}\qquad \frac{-b+\sqrt D}{2a}\le\frac12.$$

Prvi uvjet se, zbog $a>0$, svodi na $-b>\sqrt D$. To povlači da je $b<0$.

Kvadriranjem dobivamo $b^2>D=b^2-4ac$, odnosno $-4ac<0$. Kako je $a>0$, mora biti i $c>0$.

Drugi uvjet, opet zbog $a>0$, daje $-b+\sqrt D\le a$.

Dakle $a+b\ge\sqrt D>0$, tj. $a>-b>0$.

Sada iz $D>0$ dobivamo

$$4c<\frac{b^2}{a}<\frac{b^2}{-b}=-b.$$

Zbog $c\ge1$ vrijedi $-b>4c\ge4$, pa budući da je $b$ cijeli broj vrijedi $-b\ge5$.

No, iz $a>-b$ sada dobivamo $a>5$. Budući da je $a$ cijeli broj vrijedi $a\ge6$.

Drugo rješenje.

Neka su $x_1$ i $x_2$ rješenja dane jednadžbe. Prema Vieteovim formulama vrijedi

$$0<\frac ca=x_1x_2\le\frac14.$$

Zaključujemo da je $c>0$, a budući da je $c$ pozitivan cijeli broj vrijedi $c\ge1$.

Također, zbog $a>0$, zaključujemo da je $4c\le a$.

Zbog uvjeta zadatka je $0<x_1+x_2\le1$, pa zbog druge Vieteove formule i zbog $a>0$ vrijedi

$$0<-\frac ba=x_1+x_2\le1,$$

tj. $0<-b\le a$.

Kvadriranjem slijedi $b^2\le a^2$.

Rješenja $x_1$ i $x_2$ su realna i različita, pa je diskriminanta $D=b^2-4ac$ pozitivna.

Zato je $b^2>4ac\ge16c^2\ge16$.

Budući da je $b$ cijeli broj slijedi $b^2\ge25$.

Zato je $a^2\ge b^2\ge25$, tj. $a\ge5$.

Ako pretpostavimo $a=5$, onda je $25=a^2\ge b^2>4ac\ge20$, pa je $b=-5$ i $c=1$.

Budući da jednadžba $5x^2-5x+1=0$ ima rješenje

$$\frac{5+\sqrt5}{10}>\frac12,$$

zaključujemo da $a$ ne može biti 5. Dakle, $a\ge6$.

Treće rješenje.

Neka su $x_1$ i $x_2$ rješenja dane jednadžbe. Prema Vieteovim formulama vrijedi

$$\frac ca=x_1x_2>0,$$

pa je $c>0$.

Zbog druge Vieteove formule i zbog $a>0$ vrijedi

$$0<-\frac ba=x_1+x_2\le1,$$

tj. $0<-b\le a$.

Kvadriranjem slijedi $b^2\le a^2$.

Rješenja $x_1$ i $x_2$ su realna i različita, pa je diskriminanta $D=b^2-4ac$ pozitivna.

Budući da su $a$ i $c$ pozitivni cijeli brojevi, zaključujemo da je $b^2>4ac\ge4\cdot1\cdot1=4$, pa budući da je $b$ cijeli broj slijedi $b^2\ge9$.

Zato je $a^2\ge b^2\ge9$, tj. $a\ge3$.

Sada možemo zaključiti $b^2>4ac\ge12$, pa je $b^2\ge16$. Zato je $a^2\ge b^2\ge16$, tj. $a\ge4$.

Ponavljajući još jednom ovaj niz zaključivanja, dobivamo $b^2>4ac\ge16$, pa vrijedi $a^2\ge b^2\ge25$, tj. $a\ge5$.

Ako pretpostavimo da je $a=5$, onda je $25=a^2\ge b^2>4ac\ge20$, pa je $b=-5$ i $c=1$.

Budući da jednadžba $5x^2-5x+1=0$ ima rješenje

$$\frac{5+\sqrt5}{10}>\frac12,$$

zaključujemo da $a$ ne može biti 5. Dakle, $a\ge6$.

Jednadžba $6x^2-5x+1=0$ ima rješenja $x_1=\frac13$ i $x_2=\frac12$, što pokazuje da je moguće da je $a=6$.