6. Zadatak

Prvo rješenje.

Budući da je $ML$ paralelno s $AB$, slijedi da su kutovi u trokutima $ABC$ i $MLC$ isti, pa su ta dva trokuta slična. Analogno, trokuti $KBL$ i $ABC$ su slični.

Neka je $|BC|=a$ i $|BL|=x$. Tada je

$$P(ABC):P(KLB)=a^2:x^2.$$

Također vrijedi

$$\frac34=\frac{P(MLC)}{P(KBL)} =\frac{(a-x)^2}{x^2} =\left(\frac ax-1\right)^2.$$

Zato je

$$\frac ax=1+\sqrt{\frac34}=1+\frac{\sqrt3}{2}=\frac{2+\sqrt3}{2}$$

i vrijedi

$$P(ABC)=\left(\frac{2+\sqrt3}{2}\right)^2\cdot P(KLB) =\frac{4+4\sqrt3+3}{4}\cdot4 =7+4\sqrt3.$$

Iz ovoga slijedi

$$P(AKLM)=P(ABC)-P(KLB)-P(MLC)=4\sqrt3.$$

Neka je $N$ nožište visine romba iz vrha $M$ na stranicu $AK$. Tada je

$$4\sqrt3=P(AKLM)=|MN|\cdot|AK|=|MN|\cdot2\sqrt2,$$

odnosno $|MN|=\sqrt6$.

Nadalje,

$$|MN|:|AM|=\frac{\sqrt3}{2},$$

pa je trokut $AMN$ polovica jednakostraničnog trokuta i stoga vrijedi $\angle BAC=\angle MAN=60^\circ$.

Drugo rješenje.

Neka je $|KB|=y$. S $v_1$ označimo duljinu visine trokuta $MLC$ iz vrha $C$, a s $v_2$ duljinu visine trokuta $KLB$ iz vrha $L$. Duljina visine trokuta $ABC$ iznosi $v_1+v_2$.

Koristeći zadane površine trokuta $LMC$ i $KLB$ dobivamo

$$P(LMC)=\frac12|ML|v_1=3,$$

odnosno $v_1=\frac{3\sqrt2}{2}$, te

$$P(KLB)=\frac12yv_2=4.$$

Vrijedi

$$P(ABC)=P(AKLM)+P(KLB)+P(LMC). \tag{*}$$

Kako je $P(AKLM)=|AK|\cdot v_2=2\sqrt2v_2$ i

$$P(ABC)=\frac12|AB|(v_1+v_2) =\frac12(|AK|+|KB|)(v_1+v_2) =\frac12(2\sqrt2+y)(v_1+v_2),$$

iz $(*)$ dobivamo

$$\frac12(2\sqrt2+y)(v_1+v_2)=2\sqrt2v_2+4+3.$$

Budući da iz $\frac12yv_2=4$ slijedi $y=\frac8{v_2}$, dobivamo jednadžbu s jednom nepoznanicom

$$\frac12\left(2\sqrt2+\frac8{v_2}\right) \left(\frac{3\sqrt2}{2}+v_2\right) =2\sqrt2v_2+7,$$

čije je jedino pozitivno rješenje $v_2=\sqrt6$.

Neka je $N$ nožište visine romba iz vrha $M$ na stranicu $AK$. Kako je $|MN|=v_2=\sqrt6$, slijedi

$$|MN|:|AM|=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Zato je $AMN$ polovica jednakostraničnog trokuta, tj. $\angle BAC=\angle MAN=60^\circ$.