5. Zadatak
Neka je broj šesteroznamenkastih brojeva čiji je umnožak znamenki 105, a broj šesteroznamenkastih brojeva čiji je umnožak znamenki 147. Odredi omjer .
Rješenje
Prvo rješenje.
Rastavimo dane umnoške na proste faktore:
Umnošci bilo kojih dvaju od brojeva 3, 5, 7 su dvoznamenkasti, pa svaki šesteroznamenkasti broj čiji je umnožak znamenki jednak 105 ima znamenke 1, 1, 1, 3, 5, 7 u nekom poretku.
Analogno, svaki šesteroznamenkasti broj čiji je umnožak znamenki jednak 147 ima znamenke 1, 1, 1, 3, 7, 7 u nekom poretku.
Ako u broju kojem je umnožak znamenki 147 odaberemo jednu od dvije znamenke 7 i zamijenimo je znamenkom 5, dobit ćemo broj kojem je umnožak znamenki 105. Zato je broj dvostruko veći od broja , tj. .
Drugo rješenje.
Kao u prvom rješenju, znamenke moraju biti 1, 1, 1, 3, 5, 7, odnosno 1, 1, 1, 3, 7, 7.
Odredimo broj . Znamenku 3 možemo staviti na bilo koje od 6 mjesta, znamenku 5 na bilo koje od preostalih 5 mjesta i znamenku 7 na bilo koje od preostalih 4 mjesta. Nakon toga su pozicije za znamenke 1 određene. Zato je
Odredimo broj . Znamenku 3 možemo staviti na bilo koje od 6 mjesta, a dvije znamenke 7 možemo staviti na načina. Naime, prvu znamenku 7 možemo staviti na jedno od 5 preostalih mjesta, a drugu na jedno od 4 preostala mjesta, no pritom ćemo isti broj prebrojiti dvaput, jer je svejedno koja je znamenka 7 prva postavljena, a koja druga. Nakon toga na preostala tri mjesta dolaze znamenke 1. Zato je
Konačno,