1. Zadatak

Nadopunjavanjem do kvadrata zadanu jednakost možemo zapisati u obliku

$$\left(x+\frac12\right)^2+\left(y+\frac32\right)^2+\left(z+\frac52\right)^2+\left(w+\frac72\right)^2=25.$$

Po nejednakosti između aritmetičke i kvadratne sredine vrijedi

$$\frac{\left(x+\frac12\right)+\left(y+\frac32\right)+\left(z+\frac52\right)+\left(w+\frac72\right)}{4} \le \sqrt{\frac{\left(x+\frac12\right)^2+\left(y+\frac32\right)^2+\left(z+\frac52\right)^2+\left(w+\frac72\right)^2}{4}}.$$

Zaključujemo da je

$$\left(x+\frac12\right)+\left(y+\frac32\right)+\left(z+\frac52\right)+\left(w+\frac72\right)\le 10,$$

to jest $x+y+z+w\le2$.

Uočimo da se vrijednost $2$ doista postiže, na primjer za $x=2$, $y=1$, $z=0$, $w=-1$. Prema tome, najveća moguća vrijednost izraza $x+y+z+w$ je $2$.