2. Zadatak

Neka je $S:=a^2+b^2+|ab-1|+|ab-4|$. Promatranjem predznaka izraza $ab-1$ i $ab-4$ razlikujemo tri slučaja.

Neka je u prvom slučaju $ab\geq4$. Tada su izrazi u obje zagrade početnog izraza nenegativni, pa on postaje

$$S=a^2+b^2+ab-1+ab-4=(a-b)^2-5+4ab.$$

Najmanja vrijednost koju kvadrat realnog broja može postići je $0$ (i to je kada su $a$ i $b$ jednaki), dok nužno imamo i $ab\geq4$. Zato je najmanja vrijednost izraza u ovom slučaju jednaka $0-5+4\cdot4=11$, i ona se postiže kada je $a=b$ i $ab=4$, odnosno kada je $a=b=2$.

U drugom slučaju imamo $1\leq ab\leq4$. Tada početni izraz slično kao u prvom slučaju postaje

$$S=a^2+b^2+ab-1-(ab-4)=a^2+b^2+3=(a-b)^2+3+2ab\geq0+3+2\cdot1=5.$$

Minimum se postiže kada je $a=b$ i $ab=1$, odnosno za $a=b=1$.

U trećem slučaju imamo $ab\leq1$, a početni izraz postaje

$$S=a^2+b^2-(ab-1)-(ab-4)=(a-b)^2+5\geq5.$$

Minimum se postiže za svaka dva međusobno jednaka realna broja $a$ i $b$ kojima je umnožak manji ili jednak $1$.

Prema tome, najmanja vrijednost koju može poprimiti izraz $a^2+b^2+|ab-1|+|ab-4|$ je $5$.