4. Zadatak

Uočimo da iz $abc=-1$ slijedi da nijedan od brojeva $a,b,c$ nije jednak nuli.

Uvrštavanjem $abc=-1$ i $a=4-b-c$ (odnosno $a-3=1-b-c$) u nazivnik prvog pribrojnika dobivamo

$$\frac{a}{a^2-3a-1}=\frac{a}{a^2-3a+abc}=\frac{1}{a-3+bc}=\frac{1}{(1-b-c)+bc}=\frac{1}{(b-1)(c-1)}.$$

Analogno dobijemo

$$\frac{b}{b^2-3b-1}=\frac{1}{(a-1)(c-1)}$$

i

$$\frac{c}{c^2-3c-1}=\frac{1}{(a-1)(b-1)}.$$

Zato je

$$\begin{aligned} \frac49 &=\frac{a}{a^2-3a-1}+\frac{b}{b^2-3b-1}+\frac{c}{c^2-3c-1}\\ &=\frac{1}{(b-1)(c-1)}+\frac{1}{(a-1)(c-1)}+\frac{1}{(a-1)(b-1)}\\ &=\frac{(a-1)+(b-1)+(c-1)}{(a-1)(b-1)(c-1)}\\ &=\frac{a+b+c-3}{(a-1)(b-1)(c-1)}\\ &=\frac{1}{(a-1)(b-1)(c-1)}, \end{aligned}$$

odnosno

$$(a-1)(b-1)(c-1)=\frac94.$$

Kako vrijedi

$$\begin{aligned} (a-1)(b-1)(c-1) &=abc-ab-ac-bc+a+b+c-1\\ &=-1-ab-ac-bc+4-1\\ &=2-ab-ac-bc, \end{aligned}$$

možemo zaključiti

$$ab+ac+bc=2-(a-1)(b-1)(c-1)=2-\frac94=-\frac14.$$

Konačno, vrijedi

$$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)=4^2-2\cdot\left(-\frac14\right)=16+\frac12=\frac{33}{2},$$

što je i trebalo pokazati.