7. Zadatak

Prvo rješenje.

Kao prvo primijetimo da je nužno $p>q$.

Posebno, $p\geq3$, pa je lijeva strana jednadžbe neparna. Zato je točno jedan od brojeva $q$ i $r$ paran, a jedan neparan. Kako je jedini paran prost broj $2$, imamo dva slučaja: $q=2$ ili $r=2$.

Neka je prvo $q=2$ i $r>2$. Prebacivanjem $q^2$ na lijevu stranu jednadžbe i primjenom razlike kvadrata dobivamo

$$(p-2)(p+2)=r^n.$$

Kako je $r$ prost, nužno je $p-2=r^a$ i $p+2=r^b$, za neke nenegativne cijele brojeve $a<b$ takve da je $a+b=n$.

Oduzimanjem tih jednadžbi, dobivamo

$$4=r^b-r^a=r^a(r^{b-a}-1).$$

Kako je $r$ neparan, a $r^a$ dijeli $4$, zaključujemo da je nužno $a=0$.

Dalje slijedi $4=r^b-1$, odakle je $r=5$, $b=1$. Uvrštavanjem u bilo koju od gornjih jednakosti dobivamo jedno rješenje:

$$p=3,\ q=2,\ r=5,\ n=1.$$

Neka je sada $r=2$ i $q>2$. Promotrimo početnu jednadžbu modulo $3$. Ako ni $p$ ni $q$ nisu jednaki $3$, tada izrazi $p^2$ i $q^2$ daju ostatak $1$ pri dijeljenju s $3$. Kako $2^n$ nije djeljivo s $3$, zaključujemo da početna jednadžba u tom slučaju nema rješenja. Dakle, jedan od brojeva $p$ i $q$ jednak je $3$.

Ako je $p=3$, tada bi zbog $p>q$ nužno moralo biti $q=2$, no dobivamo kontradikciju jer $q$ mora biti neparan. Dakle, nužno je $q=3$.

Kao u prvom slučaju, u početnoj jednadžbi prebacimo $q^2$ na lijevu stranu i primijenimo razliku kvadrata:

$$(p-3)(p+3)=2^n.$$

Ponovno zaključujemo da je $p-3=2^a$ i $p+3=2^b$, za neke nenegativne cijele brojeve $a<b$ takve da je $a+b=n$. Oduzimanjem dobivamo

$$6=2^b-2^a=2^a(2^{b-a}-1).$$

Primijetimo da je nužno $a=1$ (za $a=0$ desna strana je neparna ili jednaka nuli, a za $a\geq2$ desna strana je djeljiva s $4$). Uvrštavanjem tog zaključka dobivamo $2^b=8$, odakle je $b=3$, odnosno $n=4$. Iz bilo koje od preostalih jednadžbi dobivamo još jedno rješenje:

$$p=5,\ q=3,\ r=2,\ n=4.$$

Dakle, sva rješenja početne jednadžbe $(p,q,r,n)$ su $(3,2,5,1)$ i $(5,3,2,4)$.

Drugo rješenje.

Kao u prošlom rješenju, prvo zaključujemo da je $p>q$.

Gledajući jednadžbu, možemo zaključiti da je

• barem jedan od brojeva $p,q,r$ paran (ako su svi brojevi neparni, dobivamo da obje strane jednakosti nisu iste parnosti);
• barem jedan od brojeva $p,q,r$ djeljiv s $3$ (ako $p$ i $q$ nisu djeljivi s $3$, onda $p^2$ i $q^2$ daju ostatak $1$ pri dijeljenju s $3$, pa $r^n$ mora biti djeljiv s $3$).

Kako je $2$ jedini paran prost broj, a $3$ jedini prost broj djeljiv s $3$, zaključujemo da je moguće šest slučajeva.

Slučajevi kada je $(p,q,r)$ jednako $(2,3,r)$ ili $(2,q,r)$ otpadaju zbog $p>q$. Isto je i sa slučajem $(p,q,r)=(3,q,2)$, jer $q$ ne može biti jednak $2$ gledajući parnosti jednadžbe.

Slučaj $(p,q,r)=(3,2,r)$ vodi na jednadžbu $r^n=5$, gdje dobivamo rješenje $p=3$, $q=2$, $r=5$, $n=1$.

Slučaj $(p,q,r)=(p,3,2)$ rješavamo kao u prvom rješenju i dobivamo rješenje $p=5$, $q=3$, $r=2$, $n=4$.

Slučaj $(p,q,r)=(p,2,3)$ rješava se analogno, no ne dobivamo rješenje.

Dakle, sva rješenja početne jednadžbe $(p,q,r,n)$ su $(3,2,5,1)$ i $(5,3,2,4)$.