6. Zadatak

Prvo rješenje.

Kružnice $k_1$, $k_2$ i $k_3$ se međusobno diraju izvana, stoga je $|S_1S_2|=r_1+r_2=3$, $|S_2S_3|=r_2+r_3=5$ i $|S_3S_1|=r_3+r_1=4$.

Uočimo da je trokut $S_1S_2S_3$ trokut sa stranicama duljina $3$, $4$ i $5$. Prema obratu Pitagorinog poučka trokut $S_1S_2S_3$ je pravokutan.

Označimo s $\alpha$ i $\beta$ redom mjere kutova $\angle S_1S_2S_3$ i $\angle S_1S_3S_2$.

Budući da je trokut $S_1S_2S_3$ pravokutan, vrijedi $\sin\alpha=\frac45$ i $\sin\beta=\frac35$.

Trokuti $S_1S_2S_3$ i $CAS_1$ su pravokutni pa imamo

$$P(S_1S_2S_3)=\frac{3\cdot4}{2}=6,$$ $$P(CAS_1)=\frac{1\cdot1}{2}=\frac12.$$

Površinu trokuta $ABS_2$ i $BCS_3$ možemo odrediti preko formule za površinu trokuta pomoću sinusa kuta

$$P(ABS_2)=\frac12r_2^2\sin\alpha=\frac85,$$ $$P(BCS_3)=\frac12r_3^2\sin\beta=\frac{27}{10}.$$

Sada konačno možemo odrediti površinu trokuta $ABC$

$$P(ABC)=P(S_1S_2S_3)-P(CAS_1)-P(ABS_2)-P(BCS_3)=\frac65.$$

Drugo rješenje.

Kao u prvom rješenju zaključujemo da je $|S_1S_2|=3$, $|S_2S_3|=5$ i $|S_3S_1|=4$. Također, neka je $\alpha$ mjera kuta $\angle S_1S_2S_3$. Kao u prošlom rješenju, površina $P$ trokuta $S_1S_2S_3$ iznosi $6$ (možemo je izračunati Heronovom formulom ili uočavanjem i korištenjem da je trokut pravokutan).

Primjenom formule za površinu trokuta pomoću sinusa kuta imamo

$$\frac{P(ABS_2)}{P} =\frac{\frac12\cdot2\cdot2\sin\alpha}{\frac12\cdot3\cdot5\sin\alpha} =\frac4{15},$$

iz čega slijedi da je $P(ABS_2)=\frac4{15}P=\frac85$.

Analogno dobijemo $P(CAS_1)=\frac12$ i $P(BCS_3)=\frac{27}{10}$.

Sada konačno možemo odrediti površinu trokuta $ABC$

$$P(ABC)=P(S_1S_2S_3)-P(CAS_1)-P(ABS_2)-P(BCS_3)=\frac65.$$

Treće rješenje.

Kao u prvom rješenju, trokut $S_1S_2S_3$ je pravokutan sa stranicama duljina $3$, $4$ i $5$, a $\alpha$ i $\beta$ mjere kutova $\angle S_1S_2S_3$ i $\angle S_1S_3S_2$.

Neka su $a$, $b$ i $c$ duljine stranica $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$ redom.

Budući da je trokut $S_1S_2S_3$ pravokutan, vrijedi $\cos\alpha=\frac35$ i $\cos\beta=\frac45$.

Primjenom Pitagorinog poučka na trokut $AS_1C$ dobivamo

$$b^2=|AC|^2=|AS_1|^2+|S_1C|^2=2.$$

Primjenom poučka o kosinusu na trokut $ABS_2$ dobivamo

$$c^2=|AB|^2=|AS_2|^2+|S_2B|^2-2\cdot|AS_2|\cdot|S_2B| =2\cdot2^2\cdot\left(1-\frac35\right)=\frac{16}{5}.$$

Analogno, primjenom poučka o kosinusu na trokut $BCS_3$ dobivamo

$$a^2=|BC|^2=\frac{18}{5}.$$

Neka je $I$ središte upisane kružnice trokuta $S_1S_2S_3$, a $A'$, $B'$ i $C'$ dirališta te upisane kružnice sa stranicama $\overline{S_1S_2}$, $\overline{S_2S_3}$ i $\overline{S_3S_1}$ redom.

Trokuti $A'S_2I$ i $B'S_2I$ su pravokutni trokuti koji dijele hipotenuzu i po jedna kateta im je iste duljine kao radijus upisane kružnice trokuta $S_1S_2S_3$. Zato su ti trokuti sukladni, pa posebno vrijedi $|A'S_2|=|B'S_2|$.

Slično zaključujemo da je $|A'S_1|=|C'S_1|$ i $|C'S_3|=|B'S_3|$. Isto vrijedi i za točke $A$, $B$ i $C$, a to je moguće samo ako je $A\equiv A'$, $B\equiv B'$ i $C\equiv C'$.

Ovime zaključujemo da je upisana kružnica trokuta $S_1S_2S_3$ upravo opisana kružnica trokuta $ABC$.

Kako je četverokut $CIAS_1$ kvadrat, radijus te kružnice je $R=|IA|=|AS_1|=1$.

Konačno, površinu trokuta $ABC$ možemo izračunati koristeći formulu preko radijusa opisane kružnice:

$$P=\frac{abc}{4R} =\frac{\sqrt{\frac{18}{5}\cdot2\cdot\frac{16}{5}}}{4\cdot1} =\frac65.$$