5. Zadatak

Početni razlomak možemo zapisati na sljedeći način

$$\frac{n^2-22+\log_2n}{n-5} =\frac{n^2-25+\log_2n+3}{n-5} =n+5+\frac{\log_2n+3}{n-5}.$$

Budući da je $n+5$ cijeli broj, da bi gornji razlomak bio cijeli broj onda i razlomak $\frac{\log_2n+3}{n-5}$ mora biti cijeli broj.

Posebno, broj $k:=\log_2n$ u brojniku tog razlomka mora biti racionalan broj. Kako je broj $n=2^k$ prirodan, to je moguće samo ako je $k$ nenegativan cijeli broj.

Uvrštavanjem $n=2^k$ slijedi da

$$\frac{\log_2n+3}{n-5}=\frac{k+3}{2^k-5}$$

mora biti cijeli broj.

Provjerom slučajeva $k=0,1,2$ i $3$ dobijemo da je razlomak $\frac{k+3}{2^k-5}$ cijeli broj jedino za $k=2$ i $k=3$.

Za $k\geq4$ je $2^k-5>k+3$ (jer eksponencijalna funkcija brže raste od linearne funkcije), pa u tom slučaju gornji razlomak nikako ne može biti cijeli broj.

Dakle, $n=2^2=4$ i $n=2^3=8$ su jedina rješenja za koje je početni razlomak cijeli broj.