4. Zadatak

Označimo sa $S$ ukupan zbroj bodova svih učenika na natjecanju te sa $x_i$ broj učenika koji je ostvario točno $i$ bodova na natjecanju za $i=0,1,\ldots,50$.

Potrebno je dokazati da postoje $a,b\in\{0,1,\ldots,50\}$ takvi da je $x_a-x_b\geq20$.

Prosječni broj bodova na natjecanju prije računalne greške iznosi $\frac{S}{1200}$.

Nakon računalne greške učenicima koji su ostvarili $1$, $2$ ili $3$ boda je umjesto toga zapisano $0$ bodova. Ta promjena ukupan zbroj bodova smanjuje za $x_1+2x_2+3x_3$.

Slično, učenicima koji su ostvarili $47$, $48$ ili $49$ boda je umjesto toga zapisano $50$ bodova. Ta promjena ukupan zbroj bodova povećava za

$$(50-47)x_{47}+(50-48)x_{48}+(50-49)x_{49}=3x_{47}+2x_{48}+x_{49}.$$

Dakle, prosječan broj bodova na natjecanju poslije računalne greške iznosi

$$\frac{S-x_1-2x_2-3x_3+x_{49}+2x_{48}+3x_{47}}{1200}.$$

Iz uvjeta zadatka znamo da vrijedi

$$\frac{S}{1200}+0.1 =\frac{S-x_1-2x_2-3x_3+x_{49}+2x_{48}+3x_{47}}{1200},$$

odakle sređivanjem dobivamo

$$(x_{49}-x_1)+2(x_{48}-x_2)+3(x_{47}-x_3)=120.$$

Pretpostavimo da su sve razlike $x_{49}-x_1$, $x_{48}-x_2$, $x_{47}-x_3$ manje od $20$. Tada vrijedi

$$120=(x_{49}-x_1)+2(x_{48}-x_2)+3(x_{47}-x_3)<20+2\cdot20+3\cdot20=120,$$

odakle dobivamo kontradikciju.

Dakle barem jedna od razlika $x_{49}-x_1$, $x_{48}-x_2$, $x_{47}-x_3$ iznosi barem $20$, a time je dokazana i tvrdnja zadatka.