1. Zadatak

Da bi vrijednosti logaritama u početnoj nejednadžbi bile dobro definirane mora vrijediti $x^2>0$ (odnosno $x\neq0$), $x+8>0$ (odnosno $x>-8$) i $x-3>0$ ($x>3$).

Presjek svih uvjeta daje početni uvjet nejednadžbe $x>3$.

Svedimo sve logaritme u nejednadžbi na bazu $3$:

$$\log_9x^2=2\cdot\frac12\log_3x=\log_3x,$$ $$\log_{\frac13}(x-3)=-\log_3(x-3).$$

Uvrštavanjem gornjih izraza i sređivanjem početne nejednadžbe imamo

$$\begin{aligned} \log_3x-\log_3(x+8)&\leq-\log_3(x-3)-1,\\ \log_3x+\log_3(x-3)+1&\leq\log_3(x+8),\\ \log_3(3x\cdot(x-3))&\leq\log_3(x+8). \end{aligned}$$

Kako je baza logaritma $3$ veća od $1$, dalje imamo

$$\begin{aligned} 3x\cdot(x-3)&\leq x+8,\\ 3x^2-9x&\leq x+8,\\ 3x^2-10x-8&\leq0. \end{aligned}$$

Rješenje dobivene kvadratne nejednadžbe je $x\in\left[-\frac23,4\right]$.

Uzimajući u obzir početni uvjet $x>3$, konačno rješenje je $x\in(3,4]$.