2. Zadatak

Korištenjem identiteta $\sin^2x+\cos^2x=1$, izraze u brojniku i nazivniku možemo zapisati na sljedeći način:

$$\begin{aligned} \operatorname{tg}x+\operatorname{ctg}x+1 &=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}+1\\ &=\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin x\cos x}+1\\ &=\frac1{\sin x\cos x}+1 =\frac{1+\sin x\cos x}{\sin x\cos x}, \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \operatorname{tg}^2x+\operatorname{ctg}^2x+2 &=\frac{\sin^2x}{\cos^2x}+1+\frac{\cos^2x}{\sin^2x}+1\\ &=\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\cos^2x}+\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x}\\ &=\frac1{\cos^2x}+\frac1{\sin^2x} =\frac1{\sin^2x\cos^2x}. \end{aligned}$$

Uvrštavanjem u početni uvjet i sređivanjem dobivamo

$$\frac49=\sin x\cos x(1+\sin x\cos x).$$

Supstitucijom $t=\sin x\cos x$ dobivamo kvadratnu jednadžbu $t^2+t-\frac49=0$.

Njezina rješenja su $t_1=\frac13$ i $t_2=-\frac43$.

Kako je $|t|=|\sin x\cos x|\leq1$, nije moguće $t=-\frac43$. Konačno zaključujemo da je $t=\sin x\cos x=\frac13$.