4. Zadatak

Prvi način.

Neka su $a-d$, $a$ i $a+d$ brojevi koji čine aritmetički niz. Članovi geometrijskog niza su $(a-d)^2$, $a^2$ i $(a+d)^2$. To znači da mora vrijediti $(a-d)^2(a+d)^2=(a^2)^2$, odnosno $(a^2-d^2)^2=a^4$, odakle slijedi $d=0$ ili $d=\pm a\sqrt2$.

Kvocijent geometrijskog niza može biti $q_1=1$ (za $d=0$), ili (za $d=\pm a\sqrt2$):

$$q_{2,3}=\frac{(a+d)^2}{a^2}=1+2\cdot\frac da+\left(\frac da\right)^2=1\pm2\sqrt2+(\sqrt2)^2=3\pm\sqrt2.$$

Drugi način.

Označimo te realne brojeve s $a$, $b$ i $c$. Kako je to aritmetički niz, vrijedi $a+c=2b$. $(\ast)$ Kako je $a^2$, $b^2$, $c^2$ geometrijski niz, vrijedi $a^2c^2=b^4$. $(\ast\ast)$ Traženi kvocijent je $q=\dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{c^2}{b^2}$.

Kvadriranjem $(\ast)$ dobivamo $a^2+2ac+c^2=4b^2$, odnosno nakon dijeljenja s $b^2$:

$$\frac{a^2}{b^2}+2\cdot\frac{ac}{b^2}+\frac{c^2}{b^2}=4.\qquad(\ast\ast\ast)$$

Iz $(\ast\ast)$ slijedi $b^2=|ac|$, pa je $\dfrac{ac}{b^2}=\pm1$. Stoga iz $(\ast\ast\ast)$ dobivamo dvije jednadžbe:

$$\frac1q+2+q=4\qquad\text{i}\qquad\frac1q-2+q=4,$$

odnosno njima ekvivalentne kvadratne jednadžbe: $q^2-2q+1=0$ i $q^2-6q+1=0$, s rješenjima $q_1=1$ odnosno $q_{2,3}=3\pm\sqrt2$.