8. Zadatak

Tvrdnju dokazujemo jednom varijantom matematičke indukcije: u koraku indukcije pokazat ćemo da, ako tvrdnja vrijedi za neka dva uzastopna prirodna broja, ona vrijedi i za broj koji slijedi. Stoga je potrebno provjeriti da tvrdnja vrijedi za $n=1$ i $n=2$.

$a_1=1<\dfrac74$, $a_2=3=\dfrac{48}{16}<\dfrac{49}{16}=\left(\dfrac74\right)^2$ pa je baza indukcije zadovoljena.

Pretpostavimo da za neki $k\in\mathbb N$ vrijedi $a_{k-2}<\left(\dfrac74\right)^{k-2}$ i $a_{k-1}<\left(\dfrac74\right)^{k-1}$. Sada raspisujemo:

$$\begin{aligned} a_k&=a_{k-1}+a_{k-2}<\text{ (po pretpostavci indukcije)}\\ &<\left(\frac74\right)^{k-1}+\left(\frac74\right)^{k-2}\\ &=\left(\frac74\right)^{k-2}\left(\frac74+1\right) =\left(\frac74\right)^{k-2}\cdot\frac{11}4 =\left(\frac74\right)^{k-2}\cdot\frac{44}{16}\\ &<\left(\frac74\right)^{k-2}\cdot\frac{49}{16} =\left(\frac74\right)^{k-2}\cdot\left(\frac74\right)^2=\left(\frac74\right)^k. \end{aligned}$$

Pokazali smo da vrijedi $a_k<\left(\dfrac74\right)^k$.

Po principu matematičke indukcije zaključujemo da za sve $n\in\mathbb N$ vrijedi $a_n<\left(\dfrac74\right)^n$.