1. Zadatak

Prvi način.

Iz jednadžbe vidimo da mora biti $x>0$.

Zadana jednadžba ekvivalentna je s $x^{\frac x2}=x^{\sqrt x}$.

Ova jednakost vrijedi ako je $x=1$ ili ako su eksponenti jednaki.

Iz jednadžbe $\dfrac x2=\sqrt x$ slijedi $x^2-4x=0$, odnosno $x=0$, $x=4$. Zbog uvjeta, rješenja polazne jednadžbe su samo $x=1$ i $x=4$.

Drugi način.

Iz jednadžbe vidimo da mora biti $x>0$.

Kako su obje strane pozitivne, možemo logaritmirati: $\log x^{\frac x2}=\log x^{\sqrt x}$, pa slijedi $\frac12x\log x=\sqrt x\log x$. Sada iz $\log x(\frac12x-\sqrt x)$ dobivamo dvije jednostavne jednadžbe: $\log x=0$ i $\frac12x=\sqrt x$, čija su rješenja $x=1$ odnosno $x=0$ i $x=4$.

Zbog uvjeta, rješenja polazne jednadžbe su samo $x=1$ i $x=4$.