6. Zadatak

Iz uvjeta dodira danog pravca $y=\frac35x+5$ i parabole $y^2=2px$ dobivamo $p=2\cdot\frac35\cdot5$, odnosno $p=6$. Stoga je jednadžba parabole $y^2=12x$, a zajedničko žarište elipse i parabole točka $F(3,0)$.

Dakle, linearni ekscentricitet dane elipse $b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2$ je 3, pa je $a^2-b^2=9$. Iz uvjeta dodira danog pravca i elipse dobivamo jednadžbu $\frac9{25}a^2+b^2=25$. Zbrajanjem tih dviju jednadžbi odmah dobivamo $a=5$, $b=4$. Jednadžba elipse je $16x^2+25y^2=400$.

Sada tražimo diralište pravca i elipse. Uvrštavamo $y=\frac35x+5$ u jednadžbu elipse. Nakon sređivanja dobivamo jednadžbu $x^2+6x+9=0$ s rješenjem $x=-3$, odakle slijedi $y=\frac{16}5$ pa je diralište pravca i elipse točka $E(-3,\frac{16}5)$.

Za diralište pravca i parabole uvrštavamo $y=\frac35x+5$ u jednadžbu parabole. Sređivanjem se dobiva jednadžba $\frac9{25}x^2-6x+25=0$ čije je rješenje $x=\frac{25}3$. Slijedi $y=10$. Tražena točka je $P(\frac{25}3,10)$.

Koeficijenti smjera pravaca $FE$ i $FP$ su redom $\dfrac{\frac{16}5-0}{-3-3}=-\dfrac8{15}$ te $\dfrac{10-0}{\frac{25}3-3}=\dfrac{15}8$. Iz toga odmah vidimo da su pravci $FE$ i $FP$ međusobno okomiti, tj. da je trokut $EFP$ pravokutan.