7. Zadatak

Neka su svi bridovi upisane prizme duljine $a$ i neka je $ABV$ osni presjek danog stošca, a $CDEF$ presjek upisane prizme istom ravninom (vidi sliku). Lik $CDEF$ je pravokutnik sa stranicama duljina $|DE|=a$ i $|EF|=2a$ (jer je $\overline{EF}$ duža dijagonala gornje baze prizme, pravilnog šesterokuta).

Kako je $\angle DEB=\angle OVB=\alpha$ (kutovi s paralelnim kracima), iz pravokutnog trokuta $DEB$ dobivamo $|DB|=|DE|\operatorname{tg}\alpha$, odnosno $r-a=a\operatorname{tg}\alpha$. Odatle izrazimo $a=\dfrac r{1+\operatorname{tg}\alpha}$.

Oplošje dane prizme je $O=2\cdot\dfrac{6a^2\sqrt3}4+6a^2=a^2(3\sqrt3+6)$.

Uvrštavanjem izraza za $a$ konačno dobivamo $O=\dfrac{r^2(3\sqrt3+6)}{(1+\operatorname{tg}\alpha)^2}$.