8. Zadatak

Dani izraz možemo faktorizirati na sljedeći način: $$\begin{aligned} (pq+1)^4-1&=[(pq+1)^2-1][(pq+1)^2+1]\\ &=(pq+1+1)(pq+1-1)[(pq+1)^2+1]\\ &=pq(pq+2)[(pq+1)^2+1]\\ &=p\cdot q\cdot(pq+2)\cdot(p^2q^2+2pq+2). \end{aligned}$$ Sada vidimo da zadani broj ima proste djelitelje $p$ i $q$ te još dva neparna faktora $pq+2$ i $p^2q^2+2pq+2$.

Pretpostavimo da je $pq+2$ djeljiv s $p$. Tada bi, jer je $pq$ djeljiv s $p$, bilo 2 djeljivo s $p$ što je nemoguće. Prema tome, $p$ nije djelitelj broja $pq+2$. Slično se vidi da $q$ nije djelitelj broja $pq+2$ te da ni $p$ ni $q$ nisu djelitelji broja $p^2q^2+2pq+2$.

Treba još pokazati da $pq+2$ i $p^2q^2+2pq+2$ imaju barem dva različita prosta djelitelja. Pokazat ćemo zapravo da brojevi $pq+2$ i $p^2q^2+2pq+2$ nemaju zajedničkog djelitelja različitog od 1, tj. da su relativno prosti.

Pretpostavimo da je $k$ neki zajednički prosti djelitelj brojeva $pq+2$ i $p^2q^2+2pq+2=pq(pq+1)+pq+2$. Tada je $k$ djelitelj od $(p^2q^2+2pq+2)-(pq+2)=pq(pq+1)$. Budući da su $p$ i $q$ prosti i različiti od $k$, mora vrijediti da je $k$ djelitelj od $pq+1$.

Međutim, ako je $pq+1$ višekratnik broja $k$, tada $pq+1+1$ daje ostatak 1 pri dijeljenju s $k$, što je nemoguće budući da je $pq+2$ djeljivo s $k$. Prema tome, naša pretpostavka je kriva i niti jedan djelitelj od $pq+2$ nije djelitelj od $p^2q^2+2pq+2$.

Stoga zaključujemo da svaki od brojeva $pq+2$ i $p^2q^2+2pq+2$ ima barem jedan neparni prosti faktor različit od $p$ i $q$, i ta dva faktora su različita, pa ukupno imamo barem četiri različita neparna prosta faktora.

Napomena. Činjenicu da su $pq+2$ i $p^2q^2+2pq+2$ relativno prosti brojevi možemo dokazati koristeći pravilo za računanje najvećeg zajedničkog djelitelja: $$\operatorname{NZD}(a,b)=\operatorname{NZD}(a,b-ka),\qquad\forall a,b,k\in\mathbb N.$$ Budući da je $p^2q^2+2pq+2=pq(pq+2)+2$, a $p$ i $q$ neparni brojevi slijedi $$\operatorname{NZD}(pq+2,p^2q^2+2pq+2)=\operatorname{NZD}(pq+2,2)=\operatorname{NZD}(pq,2)=1.$$ Na sličan način se može dokazati da je svaki od brojeva $p$ i $q$ relativno prost s brojevima $pq+2$ i $p^2q^2+2pq+2$.