6. Zadatak

U rješenjima ćemo sa $(*)$ označiti korištenje uvjeta zadatka u obliku $2b^2=3c^2-a^2$, odnosno $2b^2-3c^2=-a^2$.

Prvo rješenje.

Sredimo prvo izraz u zagradama: $$\begin{aligned} \frac{a+b}{b+c}+\frac{b-c}{b-a}&=\frac{(a+b)(b-a)+(b-c)(b+c)}{(b+c)(b-a)}\\ &=\frac{b^2-a^2+b^2-c^2}{(b+c)(b-a)}\overset{(*)}{=}\frac{3c^2-a^2-a^2-c^2}{(b+c)(b-a)}\\ &=\frac{2c^2-2a^2}{(b+c)(b-a)}=\frac{2(c-a)(c+a)}{(b+c)(b-a)}. \end{aligned}$$ Odavde slijedi $$\begin{aligned} \left(\frac{a+b}{b+c}+\frac{b-c}{b-a}\right)\cdot\frac{a+2b+3c}{a+c}&=\frac{2(c-a)(c+a)}{(b+c)(b-a)}\cdot\frac{a+2b+3c}{a+c}\\ &=\frac{2(c-a)(a+2b+3c)}{(b+c)(b-a)}\\ &=2\cdot\frac{ac+2bc+3c^2-a^2-2ab-3ac}{(b+c)(b-a)}\\ &\overset{(*)}{=}2\cdot\frac{ac+2bc+2b^2-2ab-3ac}{b^2-ab+bc-ac}\\ &=2\cdot\frac{2(-ac+bc+b^2-ab)}{b^2-ab+bc-ac}=4. \end{aligned}$$ Drugo rješenje.

Uočimo da iz danog uvjeta slijedi $b^2-a^2=3(b^2-c^2)$, odnosno $$\frac{a+b}{b+c}=3\cdot\frac{b-c}{b-a}.$$ Stoga je $\frac{a+b}{b+c}+\frac{b-c}{b-a}=3\cdot\frac{b-c}{b-a}+\frac{b-c}{b-a}=4\cdot\frac{b-c}{b-a}$.

Sada računamo $$\begin{aligned} \left(\frac{a+b}{b+c}+\frac{b-c}{b-a}\right)\cdot\frac{a+2b+3c}{a+c}&=4\cdot\frac{b-c}{b-a}\cdot\frac{a+2b+3c}{a+c}\\ &=4\cdot\frac{ab+2b^2+3bc-ac-2bc-3c^2}{(b-a)(a+c)}\\ &\overset{(*)}{=}4\cdot\frac{ab-a^2-ac+bc}{(b-a)(a+c)}\\ &=4\cdot\frac{(b-a)(a+c)}{(b-a)(a+c)}=4. \end{aligned}$$