7. Zadatak

Pravokutni trokut $ABC$ s katetama duljina 15 cm i 20 cm i pravim kutom u vrhu $B$ sukladan je trokutu $BDE$ s pravim kutom u vrhu $D$ . Točka $C$ leži unutar dužine $\overline{BD}$ , a točke $A$ i $E$ nalaze se s iste strane pravca $BD$ .

a) Odredi udaljenost točaka $A$ i $E$ .

b) Izračunaj površinu presjeka trokuta $ABC$ i $BDE$ .

Rješenje

Prvo rješenje.

Vrijedi $|AB|=|BD|=20$ , $|BC|=|DE|=15$ pa su duljine hipotenuza danih pravokutnih trokuta $|AC|=|BE|=25$ .

Neka je $S$ sjecište dužina $\overline{AC}$ i $\overline{BE}$ i neka je $\angle BAC=\alpha$ .

Presjek trokuta ABC i BDE

Tada je $\angle EBD=\alpha$ pa je $\angle ABE=\angle ABC-\angle EBD=90^\circ-\alpha.$ Zato je $\angle ASB=90^\circ$ , tj. $AC\perp BE$ .

U ovom rješenju koristimo Pitagorin poučak.

Označimo $|AS|=x$ , $|CS|=y$ i $|BS|=v$ .

Vrijedi $x+y=25$ .

Osim toga, iz pravokutnih trokuta $ABS$ i $BCS$ dobivamo $x^2+v^2=20^2,\qquad y^2+v^2=15^2.$ Oduzimanjem slijedi: $x^2-y^2=(x+y)(x-y)=400-225=175$ ,

pa vrijedi: $x-y=175/25=7$ .

Sada slijedi $x=16$ , $y=9$ .

Zato je $v=12$ .

Sada možemo odgovoriti na oba pitanja.

a) Udaljenost $|AE|$ ćemo dobiti iz prakokutnog trokuta $ASE$ . Znamo $|AS|=16$ i $|SE|=|BE|-|BS|=25-12=13$ .

Dakle, $|AE|=\sqrt{16^2+13^2}=\sqrt{425}=5\sqrt{17}\,\mathrm{cm}$ .

b) Površina trokuta $BSC$ iznosi $P=\frac12|BS|\cdot|SC|=54\,\mathrm{cm}^2$ .

Varijacije prvog rješenja.

Za određivanje duljina $x$ , $y$ i $v$ mogu poslužiti Euklidov poučak ili sličnost.

Euklidov poučak.

Vrijedi $x=|AS|=\frac{|AB|^2}{|AC|}=\frac{20^2}{25}=16,\qquad y=|CS|=\frac{|BC|^2}{|AC|}=\frac{15^2}{25}=9,$ te konačno $v=\sqrt{xy}=12$ .

Sličnost trokuta.

Trokuti $ABC$ i $BSC$ su slični jer imaju jednake kutove

pa je $|BS|:|BC|=|AB|:|AC|$ .

Slijedi $v=|BS|=\frac{|AB|\cdot|BC|}{|AC|}=12$ ,

$y=\sqrt{15^2-12^2}=9$ , $x=25-9=16$ .

Drugo rješenje.

Vrijedi $|AB|=|BD|=20$ , $|BC|=|DE|=15$ pa su duljine hipotenuza danih pravokutnih trokuta $|AC|=|BE|=25$ .

Presjek trokuta s pomoćnim točkama F i N

a) Označimo na dužini $\overline{AB}$ točku $F$ takvu da je $BDEF$ pravokutnik. Tada je $|AE|=\sqrt{|FE|^2+|AF|^2}=\sqrt{|BD|^2+|AF|^2}=\sqrt{20^2+5^2}=5\sqrt{17}\,\mathrm{cm}.$ b) Neka je $S$ sjecište dužina $\overline{AC}$ i $\overline{BE}$ , a $N$ nožište okomice iz $S$ na $\overline{BC}$ .

Budući da su pravci $AB$ , $SN$ i $ED$ paralelni, prema Talesovom teoremu vrijedi: $\frac{|SN|}{|AB|}=\frac{|NC|}{|BC|}\quad\text{i}\quad\frac{|SN|}{|ED|}=\frac{|BN|}{|BD|}.$ Zbrajanjem jednakosti $|NC|=|SN|\cdot\frac{|BC|}{|AB|}$ i $|BN|=|SN|\cdot\frac{|BD|}{|ED|}$ dobivamo $|BC|=|SN|\cdot\left(\frac{|BC|}{|AB|}+\frac{|BD|}{|ED|}\right).$ U gornjoj jednakosti jedina nepoznata duljina je $|SN|$ : $15=|SN|\cdot\left(\frac{15}{20}+\frac{20}{15}\right)=\frac{25}{12}|SN|\quad\Rightarrow\quad |SN|=\frac{15\cdot12}{25}=\frac{36}{5}.$ Konačno, $P(BCS)=\frac12\cdot|BC|\cdot|SN|=\frac12\cdot15\cdot\frac{36}{5}=54\,\mathrm{cm}^2$ .