4. Zadatak

Tražimo sve $x\in\mathbb R$ koji zadovoljavaju nejednakost

$$\sqrt[3]{4+4x}>1+\sqrt[3]x.$$

Ona je ekvivalentna sljedećim nejednakostima:

$$\begin{aligned} \sqrt[3]{4+4x}&>1+\sqrt[3]x,\\ 4+4x&>1+3\sqrt[3]x+3\sqrt[3]{x^2}+x,\\ x-\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]x+1&>0,\\ (\sqrt[3]{x^2}-1)(\sqrt[3]x-1)&>0,\qquad (*)\\ (\sqrt[3]x-1)^2(\sqrt[3]x+1)&>0. \end{aligned}$$

Prvi faktor je strogo pozitivan za sve $x\ne1$, pa je cijeli izraz s lijeve strane pozitivan kada je $x\ne1$ i $\sqrt[3]x+1>0$, odnosno za

$$x\in(-1,1)\cup(1,+\infty).$$

Broj $\sqrt[3]{4+4x}$ veći je od broja $1+\sqrt[3]x$ ako i samo ako je $x$ veći od $-1$ i različit od $1$.

Napomena: Zadatak se može riješiti i analizirajući faktore u $(*)$.