1. Zadatak

Prvo rješenje.

Za $m=1$ promatrana jednadžba je linearna $(-2x+2=0)$, a njeno rješenje $x=1$ nije negativno.

Za $m\ne1$, diskriminanta jednadžbe

$$D=4m^2-4\cdot2\cdot(m-1)=4m^2-8m+8=(2m-2)^2+4$$

je pozitivna, pa ta kvadratna jednadžba ima uvijek dva realna rješenja, $x_1$ i $x_2$. Uvjeti $x_1\ge0,\;x_2\ge0$ ispunjeni su ako i samo ako je $x_1+x_2\ge0$ i $x_1x_2\ge0$.

Primjenom Vietéovih formula dobivamo

$$x_1+x_2=\frac{2m}{m-1},\qquad x_1x_2=\frac2{m-1}.$$

Dakle, mora vrijediti

$$\frac{2m}{m-1}\ge0,\qquad\frac2{m-1}\ge0.$$

Iz prve nejednakosti slijedi $m\in(-\infty,0]\cup[1,\infty)$, a iz druge $m>1$. Konačno, početna jednadžba nema negativnih rješenja za $m\ge1$.

Drugo rješenje.

Za $m\ne1$, rješenja dane kvadratne jednadžbe su

$$\begin{aligned} x_{1,2} &=\frac{2m\pm\sqrt{4m^2-4\cdot2\cdot(m-1)}}{2(m-1)}\\ &=\frac m{m-1}\pm\frac{\sqrt{m^2-2m+2}}{m-1}. \end{aligned}$$

Da bi oba rješenja bila nenegativna, mora biti

$$m-1>0\quad\text{i}\quad m-\sqrt{m^2-2m+2}\ge0$$

ili

$$m-1<0\quad\text{i}\quad m+\sqrt{m^2-2m+2}\le0.$$

1. slučaj

$$m-1>0\quad\text{i}\quad m-\sqrt{m^2-2m+2}\ge0$$

Slijedi $m^2\ge m^2-2m+2$, tj. $m\ge1$. Rješenje su svi $m>1$.

2. slučaj

$$m-1<0\quad\text{i}\quad m+\sqrt{m^2-2m+2}\le0$$

Očito mora biti $m<0$, pa kvadriranjem $\sqrt{m^2-2m+2}\le-m$ dobivamo

$$m^2-2m+2\le m^2,$$

odnosno $m\ge1$. U ovom slučaju nema rješenja.

Za $m=1$ jednadžba je linearna i nema negativnih realnih rješenja. Dakle, početna jednadžba nema negativnih rješenja za $m\ge1$.