7. Zadatak

Prvo rješenje.

Uvrštavanjem $z=x+iy$ dobivamo

$$\begin{aligned} (4+3i)z^2&=(4+3i)(x+iy)^2\\ &=4x^2-4y^2-6xy+i(3x^2-3y^2+8xy), \end{aligned}$$

pa je

$$\operatorname{Re}[(4+3i)z^2]=4x^2-4y^2-6xy.$$

Treba odrediti skup svih parova $(x,y)$ realnih brojeva koji zadovoljavaju uvjet

$$4x^2-4y^2-6xy\ge0.$$

Sređivanjem dobijemo

$$4x^2-6xy+\frac94y^2\ge4y^2+\frac94y^2,$$

odnosno

$$\left(2x-\frac32y\right)^2\ge\left(\frac52y\right)^2,$$

odakle slijedi

$$(x-2y)(2x+y)\ge0.$$

Traženi skup je dio ravnine omeđen pravcima $x-2y=0$ i $2x+y=0$, kao na slici:

Drugo rješenje.

Kao u prvom rješenju dobijemo

$$\operatorname{Re}[(4+3i)z^2]=4x^2-4y^2-6xy.$$

Rješavamo nejednadžbu $4x^2-4y^2-6xy\ge0$:

Ako je $x=0$, iz $4x^2-4y^2-6xy\ge0$ slijedi $y=0$, pa je ishodište uključeno; nadalje neka je $x\ne0$.

$$2x^2-2y^2-3xy\ge0,$$ $$2\frac{y^2}{x^2}+3\frac yx-2\le0.$$

Označimo li $k=\frac yx$, mora vrijediti $2k^2+3k-2\le0$. Ovu kvadratnu nejednadžbu zadovoljavaju svi

$$k\in\left[-2,\frac12\right].$$

Dakle $-2\le\frac yx\le\frac12$ pa je traženi skup omeđen pravcima

$$y=-2x\qquad\text{i}\qquad y=\frac12x,$$

kao na slici (v. prvo rješenje).