6. Zadatak

Neka je traženi broj $n=\overline{abc}$. (Dozvolit ćemo da vodeće znamenke budu 0.) Želimo da bude

$$a^2+b^2+c^2=100a+10b+c.$$

Kako su $a$, $b$ i $c$ znamenke, vrijedi $a^2+b^2+c^2\le3\cdot9^2=243$ pa mora biti $a\le2$.

Dalje zaključujemo da je $a^2+b^2+c^2\le2^2+9^2+9^2=166$ pa je $a\le1$.

1. slučaj. Neka je $a=1$. Tada je

$$b^2+c^2=99+10b+c.$$

No, $b^2\le10b$ i $c^2\le81<99+c$, pa je lijeva strana strogo manja od desne i jednakost ne može biti ispunjena.

2. slučaj. Neka je $a=0$. Tada je

$$b^2+c^2=10b+c,$$

što možemo zapisati u obliku

$$b(10-b)=c(c-1).$$

Izraz $b(10-b)$ može biti $0\cdot10=0,\;1\cdot9=9,\;2\cdot8=16,\;3\cdot7=21,\;4\cdot6=24$ i $5\cdot5=25$, a izraz $c(c-1)$ može biti $0,2,6,12,20,30,42,56$ ili $72$.

Stoga mora biti $b(10-b)=c(c-1)=0$, tj. $b=0$ i $c\in\{0,1\}$.

Jedini prirodni broj manji od 1000 sa zadanim svojstvom je broj 1.