8. Zadatak

Prvo rješenje.

Kako je $|AN|=|NM|$, točka $N$ leži na simetrali dužine $\overline{AM}$, a kako je trokut $AMC$ pravokutan zaključujemo da je točka $N$ polovište njegove hipotenuze $\overline{AC}$.

Dakle, nožište visine iz vrha $B$ je polovište nasuprotne stranice. To znači da je trokut $ABC$ jednakokračan i vrijedi $|AB|=|BC|$.

Sada je jasno da je pravac $BN$ simetrala kuta $\angle ABC$ pa središte upisane kružnice trokuta leži na njemu.

Drugo rješenje.

Vrijedi $\angle ANB=\angle AMB=90^\circ$ pa prema Talesovom teoremu znamo da točke $A,N,M$ i $B$ leže na istoj kružnici.

Sada vidimo da je $\angle NAM=\angle NBM$ (obodni kutovi nad lukom $\widehat{NM}$) i $\angle NMA=\angle NBA$ (obodni kutovi nad lukom $\widehat{AN}$).

Kako je $|AN|=|NM|$, trokut $ANM$ je jednakokračan pa je $\angle NAM=\angle NMA$.

Iz svega slijedi da je $\angle NBA=\angle NBM$ pa zaključujemo da je $BN$ simetrala kuta $\angle ABC$ i zbog toga središte upisane kružnice trokuta $ABC$ leži na $BN$.

Treće rješenje.

Pokažimo i kako se zadatak može riješiti primjenom trigonometrije pravokutnog trokuta. Označimo ortocentar trokuta (sjecište dužina $AM$ i $BN$) s $H$. Neka je $\gamma=\angle BCA$ i $\alpha=\angle BAC$.

Uočimo da je $\angle NBC=\angle MAC=90^\circ-\gamma$, $\angle BHM=\angle AHN=\gamma$.

Iz pretpostavke $|AN|=|NM|$ slijedi $\angle NMA=\angle MAN=90^\circ-\gamma$. Stoga je $\angle BMN=90^\circ+(90^\circ-\gamma)=180^\circ-\gamma=\angle MHN$.

Zato su trokuti $MNH$ i $BNM$ slični (kut u vrhu $N$ je zajednički), pa vrijedi

$$\frac{|MN|}{|HN|}=\frac{|BN|}{|MN|}.$$

Koristeći $|AN|=|MN|$, iz pravokutnog trokuta $AHN$ dobivamo

$$\frac{|MN|}{|HN|}=\frac{|AN|}{|HN|}=\operatorname{tg}(\angle AHN)=\operatorname{tg}\gamma.$$

Iz pravokutnog trokuta $ANB$ vidimo da je

$$\frac{|BN|}{|MN|}=\frac{|BN|}{|AN|}=\operatorname{tg}(\angle BAN)=\operatorname{tg}\alpha.$$

Stoga iz dokazane sličnosti slijedi $\operatorname{tg}\alpha=\operatorname{tg}\gamma$, odnosno $\alpha=\gamma$.

Trokut je jednakokračan ($|AB|=|BC|$) pa je simetrala kuta $\angle ABC$ ujedno i visina, što dokazuje tvrdnju.