3. Zadatak

Koordinate točaka označimo s $A(x_A,3\log_a x_A)$, $B(x_B,2\log_a x_B)$ i $C(x_C,\log_a x_C)$. Kako je površina kvadrata jednaka $36$, duljina stranice iznosi $6$. Stranica $AB$ je paralelna s $y$-osi, vrijedi $x_A=x_B$ i $|3\log_a x_A-2\log_a x_B|=6$, odakle je $|\log_a x_B|=6$.

Nadalje, vrijedi $2\log_a x_B=\log_a x_C$, tj. $x_C=x_B^2$.

Stranica $BC$ je paralelna s $x$-osi, pa vrijedi $|x_C-x_B|=6$.

Zbog toga $x_B$ i $x_C$ moraju biti veći od $1$. Razlikujemo slučajeve $a>1$ i $a<1$.

Ako je $a>1$, onda je $\log_a x_B=6$ i $x_C=x_B+6$, pa dobivamo kvadratnu jednadžbu $x_B^2-x_B-6=0$. Rješenja te jednadžbe su $x_B=3$ i $x_B=-2$, a kako $x_B$ mora biti pozitivan, zaključujemo da je jedino moguće rješenje $x_B=3$.

Budući da je $\log_a x_B=6$, tj. $x_B=a^6$, slijedi da je $a=\sqrt[6]{3}$.

Zadatak ima dva rješenja, pri čemu su rezultati recipročni brojevi, a grafovi su zrcalno simetrični obzirom na $x$-os. Za $a<1$ dobivamo rješenje $a=\frac{1}{\sqrt[6]{3}}$.