5. Zadatak

Kocka $ABCDA'B'C'D'$ stranice duljine $1$ presječena je sferom. Središte sfere je točka $S$ na dužini $AD$ takva da je $|AS|=\sqrt3-1$ . Sfera prolazi točkama $C$ i $D'$ , te siječe bridove $AB$ i $AA'$ .

Odredi površinu onog dijela oplošja kocke koji se nalazi unutar te sfere.

Rješenje

Presjek zadane sfere i bilo koje ravnine je kružnica kojoj je središte ortogonalna projekcija točke $S$ na tu ravninu. Neka su $K$ , $K'$ , $L$ i $L'$ redom presjeci sfere s bridovima $AB$ , $BC$ , $AA'$ i $A'D'$ . Ostale bridove sfera siječe u točkama $C$ i $D'$ ili ih uopće ne siječe. Neka je $r$ radijus te sfere.

Promotrimo stranu $ABCD$ . Kako je duljina brida kocke jednaka $1$ , iz uvjeta $|AS|=\sqrt3-1$ slijedi $|SD|=2-\sqrt3$ . Iz Pitagorinog poučka u trokutu $SCD$ slijedi

r^2=|SC|^2=|DC|^2+|DS|^2=1^2+(2-\sqrt3)^2=8-4\sqrt3.

Zato je i $|SK|^2=r^2=8-4\sqrt3$ . Primijetimo da je

|AS|^2=(\sqrt3-1)^2=4-2\sqrt3=\frac12|SK|^2,

odnosno $|SK|=\sqrt2|SA|$ . Odavde zaključujemo da je trokut $SAK$ jednakokračan pravokutan trokut.

Uočavamo da su točke $K$ i $S$ osnosimetrične obzirom na pravac $AC$ , pa iz te simetrije slijedi $|AK|=|AS|=\sqrt3-1$ , $|BK|=|DS|$ , $|CK|=|CS|=r$ . Dakle, trokut $SKC$ je jednakostraničan.

Vrijedi da je $|CK'|=2|DS|=4-2\sqrt3$ , pa je $|BK'|=1-(4-2\sqrt3)=2\sqrt3-3=\sqrt3\cdot|BK|$ . Iz toga zaključujemo da je $\angle BKK'=60^\circ$ i $|KK'|=2|BK|=2|DS|=|CK'|$ .

Trokuti $SKK'$ i $SK'C$ su jednakokračni s krakovima duljine $r$ , te sukladnim osnovicama, pa su sukladni i vrijedi $\angle KSK'=\angle K'SC=30^\circ$ .

Presjek sfere sa stranom ABCD kocke

Površinu dijela strane $ABCD$ unutar sfere računamo kao zbroj površina trapeza $DSK'C$ , pravokutnog trokuta $SAK$ i kružnog isječka $SKK'$ sa središnjim kutem $30^\circ$ i polumjerom $r$ :

\frac{(2-\sqrt3+2(2-\sqrt3))\cdot1}{2}+\frac{(\sqrt3-1)^2}{2}+4(2-\sqrt3)\cdot\frac{\pi}{12}=(2-\sqrt3)\left(\frac52+\frac\pi3\right).

Jednako iznosi tražena površina na strani $ADD'A'$ .

Na strani $CC'D'D$ unutar sfere se nalazi četvrtina kruga sa središtem u $D$ i radijusom $|DC|=1$ . Površina je $\frac14\pi$ . Na strani $ABB'A'$ unutar sfere se nalazi četvrtina kruga sa središtem u $A$ i radijusom $|AK|=\sqrt3-1$ . Površina je $\frac14(\sqrt3-1)^2\pi$ .

Konačno, na strani $BB'C'C$ unutar sfere je polovina kruga s promjerom $CK'$ , dok je na stranici $A'B'C'D'$ polovina kruga s promjerom $D'L'$ . Svaki od tih polukrugova ima površinu $\frac12(2-\sqrt3)^2\pi$ .

Zbrajanjem svih izračunatih površina, dobivamo konačni rezultat:

\frac\pi4+\frac{(4-2\sqrt3)\pi}{4}+2(2-\sqrt3)\left(\frac52+\frac\pi3\right)+2\cdot\frac12(7-4\sqrt3)\pi=\frac{(115-62\sqrt3)\pi}{12}+10-5\sqrt3.