7. Zadatak

Kako su uvjeti u zadatku dani za djeljivost brojem $3$, dovoljno je promatrati ostatke koje brojevi $1,2,3,\ldots,9$ u tablici daju pri dijeljenju s $3$. Točnije, umjesto tablice u koje upisujemo brojeve od $1$ do $9$, promatrat ćemo tablice u koje upisujemo tri broja $0$, tri broja $1$ i tri broja $2$, i dalje uz uvjet da je suma elemenata u svakom retku, stupcu i dijagonali djeljiva s $3$, te ćemo prebrojati koliko ima takvih tablica. Nazovimo te tablice novim tablicama.

Izračunajmo vezu brojeva tablica opisanih u zadatku i novih tablica. Svaki ostatak iz skupa $\{0,1,2\}$ pojavljuje se tri puta u tablici i prezentira jedan od tri broja iz skupa od $1$ do $9$. Ukupan broj načina kako jedan od tri ostatka zamijeniti brojevima od $1$ do $9$ možemo odabrati na $3$ načina, a potom još na $2$ načina biramo kako dva preostala ostataka prezentiraju dva preostala broja koja daju taj isti ostatak. Time zaključujemo da za svaki ostatak iz skupa $\{0,1,2\}$ ukupan broj novih tablica treba pomnožiti s faktorom $6$. Konačno, broj tablica opisanih u zadatku jednak je broju novih tablica pomnožen s $6^3$.

Sada odredimo broj novih tablica. Prvo primjećujemo da se u svakom retku, stupcu ili dijagonali, kako bi suma bila djeljiva s $3$ mogu nalaziti ili tri različita broja, ili tri ista broja.

Promotrimo prvi redak tablice. Prebrojimo prvo nove tablice u kojima su u tom retku svi brojevi različiti. Pretpostavimo da su to brojevi $0,1,2$ redom. Na prvom mjestu drugog retka tada može pisati bilo koji od brojeva iz skupa $\{0,1,2\}$, te on kao prvo jednoznačno određuje element u zadnjem retku prvog stupca (zbog sume elemenata u prvom stupcu), pa zatim element u sredini tablice (zbog sume na dijagonali), a zatim i sve elemente u tablici.

Tablice koje smo dobili su:

0	1	2
0	1	2
0	1	2

0	1	2
1	2	0
2	0	1

0	1	2
2	0	1
1	2	0

Ako pak pretpostavimo da je u prvom retku bilo koji drugi redoslijed tri različita broja (ukupno ih je $6$), analogno dobivamo tri nove tablice nalik gornjima (zamjenom uloga brojeva $0,1,2$ u cijeloj tablici). Zato je ukupan broj novih tablica u kojima se u prvom retku nalaze tri različita broja jednak $6\cdot3=18$.

Prebrojimo sada nove tablice u kojima su u prvom retku svi brojevi jednaki. Tada, da bi i ostali retci imali sumu djeljivu s tri, svi retci sadrže tri ista broja. Broj načina na koje možemo odabrati broj koji će se ponavljati u prvom retku je $3$, a na $2$ načina tada biramo broj u drugom retku (broj u zadnjem retku je jednoznačno određen prvim dvama retcima). Zato je ukupan broj novih tablica u kojima se u prvom retku nalaze tri ista broja jednak $3\cdot2=6$.

Ukupno je novih tablica $6+18=24$, pa je ukupan broj tablica traženih u tekstu zadatka jednak $24\cdot6^3=5184$.