4. Zadatak

Zapišimo izraz na drugačiji način:

$$\frac{n+2022}{n-3}=\frac{2025}{n-3}+1.$$

Ako je $n-3$ pozitivan, mora biti djelitelj broja $2025$. Broj $2025$ ima $15$ pozitivnih djelitelja:

$$1,3,5,9,15,25,27,45,75,81,135,225,405,675,2025.$$

Ako je izraz $n-3$ negativan, može poprimati vrijednosti $-1$ ili $-2$ (jer je $n$ prirodan broj).

Kako $2$ nije djelitelj od $2025$, jedina mogućnost je $n-3=-1$ (tj. $n=2$).

Zaključujemo da ukupno postoji $16$ prirodnih brojeva $n$ sa svojstvom iz teksta zadatka.

Napomena: Jedan alternativan način dokaza da $2025$ ima točno $15$ pozitivnih djelitelja je koristeći rastav $2025=3^4\cdot5^2$ i formulu za broj pozitivnih djelitelja $\tau(m)$ broja $m$ (pri čemu je $m=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}$ njegov rastav na proste faktore):

$$\tau(m)=(a_1+1)\cdots(a_k+1).$$