6. Zadatak

Prvo rješenje.

Vrijedi

$$\begin{aligned} \operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta &=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}+\frac{\cos\beta}{\sin\beta}\\ &=\frac{\cos\alpha\sin\beta+\cos\beta\sin\alpha}{\sin\alpha\sin\beta}\\ &=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta} =\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha\sin\beta}. \end{aligned}$$

Slijedi

$$\frac{\operatorname{ctg}\gamma}{\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta} =\frac{\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma}{\sin^2\gamma}.$$

Iz poučka o kosinusu slijedi $\cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$, te iz poučka o sinusima slijedi $\frac{\sin\alpha}{\sin\gamma}=\frac ac$ i $\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}=\frac bc$.

Uvrštavanjem dobivamo

$$\frac{\operatorname{ctg}\gamma}{\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta} =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\cdot\frac{ab}{c^2} =\frac{a^2+b^2-c^2}{2c^2}.$$

Koristeći uvjet $a^2+b^2=\frac{19}{9}c^2$ iz zadatka slijedi

$$\frac{\operatorname{ctg}\gamma}{\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta} =\frac{\frac{19}{9}c^2-c^2}{2c^2}=\frac59.$$

Drugo rješenje.

Prema poučku o kosinusu vrijedi $\cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$. Prema poučku o sinusu vrijedi $\sin\alpha=\frac{a}{2R}$, pri čemu je $R$ radijus opisane kružnice tom trokutu.

Tada imamo

$$\operatorname{ctg}\alpha=\frac{R}{abc}(b^2+c^2-a^2).$$

Analogno za $\beta$ i $\gamma$ vrijede formule

$$\operatorname{ctg}\beta=\frac{R}{abc}(c^2+a^2-b^2),\qquad \operatorname{ctg}\gamma=\frac{R}{abc}(a^2+b^2-c^2).$$

Uvrstimo to u izraz iz teksta zadatka:

$$\frac{\operatorname{ctg}\gamma}{\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta} =\frac{a^2+b^2-c^2}{2c^2}.$$

Kako za stranice trokuta vrijedi uvjet iz teksta zadatka, možemo izraziti $a^2+b^2=\frac{19}{9}c^2$ te konačno dobiti

$$\frac{\operatorname{ctg}\gamma}{\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta} =\frac{\frac{19}{9}c^2-c^2}{2c^2}=\frac59.$$