6. Zadatak

Prvo rješenje.

Pretpostavimo da je $P$ bliže točki $A$, a $Q$ bliže točki $C$. Stavimo

$$|BP|=|BQ|=|PQ|=x,\qquad |AP|=z,\qquad |QC|=y.$$

Budući da je trokut $BPQ$ jednakostraničan, $\angle APB=\angle CQB=120^\circ$. Trokuti $ABC$ i $APB$ su slični, pa vrijedi

$$\frac{x+y+z}{6}=\frac9x=\frac6z.$$

Također su trokuti $ABC$ i $BCQ$ slični, a trokuti $APB$ i $BCQ$ slični. Zato vrijedi

$$\frac69=\frac{x}{y}=\frac{z}{x}.$$

Odavde je

$$y=\frac{3x}{2},\qquad z=\frac{2x}{3}.$$

Iz prve sličnosti slijedi

$$x(x+y+z)=6\cdot9=54.$$

Uvrštavanjem prethodnih izraza dobivamo

$$x\left(x+\frac{3x}{2}+\frac{2x}{3}\right)=54,$$

pa je

$$\frac{19x^2}{6}=54,\qquad x^2=\frac{324}{19}.$$

Budući da je duljina pozitivna,

$$|PQ|=x=\frac{18}{\sqrt{19}}.$$

Drugo rješenje.

Neka je $D$ nožište visine iz $A$ na $BC$.

Trokut $ABD$ je pravokutan, a $\angle ABD=60^\circ$, pa je polovica jednakostraničnog trokuta i vrijedi

$$|BD|=\frac{|AB|}{2}=3.$$

Zato je

$$|AD|^2=|AB|^2-|BD|^2=36-9=27,$$

odnosno $|AD|=3\sqrt3$. U trokutu $ACD$ vrijedi

$$|AC|^2=|AD|^2+|CD|^2=27+(3+9)^2=171,$$

pa je $|AC|=3\sqrt{19}$.

Neka je $N$ nožište visine iz $B$ na $AC$. Visina jednakostraničnog trokuta $BPQ$ jednaka je

$$|BN|=\frac{|PQ|\sqrt3}{2}.$$

Izjednačavanjem površine trokuta $ABC$ dobivamo

$$\frac{|BC|\cdot|AD|}{2}=\frac{|AC|\cdot|BN|}{2},$$

pa je

$$|BN|=\frac{9\cdot3\sqrt3}{3\sqrt{19}}=\frac{9\sqrt3}{\sqrt{19}}.$$

Stoga je

$$|PQ|=\frac{2|BN|}{\sqrt3}=\frac{18}{\sqrt{19}}.$$