4. Zadatak

Prvo rješenje.

Iz jednakosti $x+y=x^3+y^3$ i identiteta

$$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$$

dobivamo

$$(x+y)(x^2+y^2-xy-1)=0.$$

Budući da je $x+y=x^2+y^2$, prethodnu jednakost možemo zapisati kao

$$0=(x+y)(x+y-xy-1)=(x+y)(x-1)(1-y).$$

Ako je $x+y=0$, tada je i $x^2+y^2=0$, pa je $x=y=0$.

Ako je $x-1=0$, tada je $x=1$, a iz $x+y=x^2+y^2=x^3+y^3$ slijedi $y=y^2$. Zato je $y=0$ ili $y=1$, odnosno dobivamo $(1,0)$ i $(1,1)$.

Ako je $1-y=0$, tada je $y=1$, a iz uvjeta slijedi $x=x^2$, pa je $x=0$ ili $x=1$. Osim već dobivenog para $(1,1)$ dobivamo $(0,1)$.

Svi dobiveni parovi izravno zadovoljavaju uvjet, pa su rješenja

$$\boxed{(0,0),\ (0,1),\ (1,0),\ (1,1)}.$$

Drugo rješenje.

Neka je

$$x+y=x^2+y^2=x^3+y^3=z.$$

Koristimo identitete

$$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$$

i

$$xy=\frac{(x+y)^2-(x^2+y^2)}2.$$

Tada je

$$z=z^3-\frac32(z^2-z)z,$$

pa nakon sređivanja slijedi

$$z^3-3z^2+2z=0,$$

odnosno

$$z(z-1)(z-2)=0.$$

Za $z=0$ dobivamo $(x,y)=(0,0)$.

Za $z=1$ vrijedi $x+y=x^2+y^2=1$, pa je $xy=0$. Dobivamo $(0,1)$ i $(1,0)$.

Za $z=2$ vrijedi $x+y=x^2+y^2=2$, pa je $xy=1$. Uvrštavanjem $y=2-x$ dobivamo

$$x(2-x)=1,\qquad (x-1)^2=0,$$

pa je $(x,y)=(1,1)$.