7. Zadatak

Najmanji mogući zbroj na bridu je $1+2=3$, a najveći $7+8=15$. Dakle, postoji samo $13$ mogućih zbrojeva. Njihov je zbroj

$$3+4+\cdots+15=117.$$

Svaki se broj u vrhu pojavljuje u točno tri brida, pa je zbroj svih dvanaest brojeva pridruženih bridovima jednak

$$3(1+2+\cdots+8)=3\cdot36=108.$$

Ako bi svi brojevi na bridovima bili različiti, među brojevima od $3$ do $15$ izostao bi točno jedan broj. Taj bi broj morao biti

$$117-108=9.$$

Prema tome, zbrojevi na bridovima morali bi biti

$$3,4,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15.$$

Zbroj $14$ može nastati samo kao $6+8$, a zbroj $15$ samo kao $7+8$. Zato je vrh s brojem $8$ spojen s vrhovima $6$ i $7$. Zbroj $13$ može nastati samo kao $5+8$, pa je vrh s brojem $8$ spojen i s vrhom $5$.

Sada zbroj $12$ ne može nastati: vrhovi s brojevima $5$ i $7$ nisu spojeni bridom, a nisu spojeni ni vrhovi s brojevima $4$ i $8$. Prema tome, barem jedan od zbrojeva $12,13,14,15$ ne može biti pridružen bridu.

Tako se može pojaviti najviše $11$ različitih zbrojeva, a kocka ima $12$ bridova. Zato Marin ne može postići da svi brojevi pridruženi bridovima budu međusobno različiti.