3. Zadatak

Broj je djeljiv s $36$ ako i samo ako je djeljiv s $4$ i s $9$.

Zbroj znamenaka $1,2,\ldots,k$ jednak je

$$1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}2.$$

Da bi taj zbroj bio djeljiv s $9$, broj $9$ mora dijeliti $k$ ili $k+1$. Kako je $k<10$, najmanja moguća vrijednost je $k=8$.

Tražimo najmanji osmeroznamenkasti broj sa znamenkama $1,2,\ldots,8$ koji je djeljiv s $4$. Njegove znamenke trebaju biti poredane rastuće, osim završnih dviju znamenaka koje moraju činiti broj djeljiv s $4$. Završetak $78$ nije djeljiv s $4$, pa je najmanji mogući odgovarajući završetak $68$. Dobivamo broj

$$12345768.$$

On je djeljiv s $4$, a zbroj njegovih znamenaka je $36$, pa je djeljiv i s $9$. Zato je najmanji zanimljiv broj

$$\boxed{12345768}.$$