2. Zadatak

Dan je pravokutni trokut $ABC$ s pravim kutom pri vrhu $C$ i stranicama duljina $|AB|=26$ , $|BC|=24$ . U njega je upisana polukružnica s promjerom na stranici $BC$ koji sadrži točku $C$ . Polukružnica dira stranicu $AB$ . Koliki je polumjer upisane polukružnice?

Rješenje

Neka je $S$ središte polukružnice, $D$ diralište polukružnice i stranice $AB$ , a $r$ njezin polumjer. Tada je

|CS|=|DS|=r.

Konstrukcija polukružnice u trokutu

Prema Pitagorinom poučku vrijedi

|AB|^2=|AC|^2+|BC|^2,

pa je

26^2=|AC|^2+24^2

i zato je $|AC|=10$ .

Budući da je $|CS|=|DS|$ , $\angle ACS=\angle ADS=90^\circ$ , a stranica $AS$ zajednička, trokuti $ACS$ i $ADS$ su sukladni prema poučku S-S-K. Zato je $|AD|=|AC|=10$ , pa je $|BD|=16$ .

U trokutu $BDS$ vrijedi

|BS|^2=|BD|^2+|DS|^2=16^2+r^2.

S druge strane, $|BS|=24-r$ , pa dobivamo

16^2+r^2=(24-r)^2.

Odavde slijedi

256+r^2=576-48r+r^2,\qquad 48r=320,

odnosno

r=\frac{20}{3}.

Drugo rješenje.

Kao i prije, $|AC|=10$ . Budući da su $\angle ACB=\angle BDS=90^\circ$ i $\angle ABC=\angle DBS$ , trokuti $ABC$ i $BDS$ su slični. Stoga vrijedi

\frac{|BS|}{|DS|}=\frac{|AB|}{|AC|},

odnosno

\frac{24-r}{r}=\frac{26}{10}.

Rješavanjem dobivamo

10(24-r)=26r,\qquad r=\frac{20}{3}.

Treće rješenje.

Opet je $|AC|=10$ . Površinu trokuta $ABC$ možemo zapisati kao zbroj površina trokuta $ASB$ i $ASC$ . Svi oni imaju visinu $r$ na odgovarajuće stranice, pa je

\frac{10\cdot24}{2}=\frac{26r}{2}+\frac{10r}{2}.

Odakle slijedi

120=18r,\qquad r=\frac{20}{3}.