3. Zadatak

Prvo rješenje. Vrijedi

$$\begin{aligned} 2^{n+2}+3^{2n+1} &=4\cdot2^n+3\cdot9^n\\ &=7\cdot2^n-3\cdot2^n+3\cdot9^n\\ &=7\cdot2^n+3\cdot(9^n-2^n)\\ &=7\cdot2^n+3\cdot(9-2)\cdot \left(9^{n-1}+9^{n-2}\cdot2+\cdots+9\cdot2^{n-2}+2^{n-1}\right)\\ &=7\left[2^n+3\left(9^{n-1}+9^{n-2}\cdot2+\cdots+9\cdot2^{n-2}+2^{n-1}\right)\right]. \end{aligned}$$

Drugo rješenje. Zadatak rješavamo matematičkom indukcijom.

Označimo $a(n)=2^{n+2}+3^{2n+1}$.

Broj $a(1)=2^3+3^3=8+27=35$ djeljiv je sa $7$.

Neka je, za neki prirodni broj $k$, broj $a(k)=2^{k+2}+3^{2k+1}$ djeljiv sa $7$. Vrijedi

$$\begin{aligned} a(k+1) &=2^{k+3}+3^{2k+3}\\ &=2\cdot2^{k+2}+9\cdot3^{2k+1}\\ &=2\left(2^{k+2}+3^{2k+1}\right)+7\cdot3^{2k+1}. \end{aligned}$$

Prema pretpostavci indukcije, izraz u zagradi je djeljiv sa $7$. Stoga je i $a(k+1)$ djeljiv sa $7$. Sad po principu matematičke indukcije možemo zaključiti da je broj $a(n)$ djeljiv sa $7$ za sve $n\in\mathbb N$.