1. Zadatak

Ako su ta dva uzastopna prirodna broja $n$ i $n+1$, dobivamo jednadžbu

$$\frac1n-\frac1{n+1}=0.0aaa\ldots$$

Kako je

$$0.0aaa\ldots=0.0\dot a=\frac a{90},$$

rješavamo jednadžbu

$$\frac1n-\frac1{n+1}=\frac a{90},$$

odnosno

$$\frac1{n(n+1)}=\frac a{90},$$

tj.

$$n(n+1)=\frac{90}{a}\qquad\text{ili}\qquad a=\frac{90}{n(n+1)}.$$

Dalje možemo nastaviti na više načina:

Prvi način. Izraz na desnoj strani jednakosti $n(n+1)=\dfrac{90}{a}$ mora biti cijeli broj, pa je $a\in\{1,2,3,5,9\}$. Zato je

$$\frac{90}{a}\in\{90,45,30,18,10\}.$$

Od tih brojeva samo se $90=9\cdot10$ i $30=5\cdot6$ mogu prikazati u obliku umnoška dvaju uzastopnih prirodnih brojeva. Dakle, $a$ može biti $1$ ili $3$, jer je

$$\frac19-\frac1{10}=\frac1{90}=0.0111\ldots \qquad\text{i}\qquad \frac15-\frac16=\frac1{30}=0.0333\ldots$$

Drugi način. U desnu stranu jednakosti $a=\dfrac{90}{n(n+1)}$ uvrštavamo redom $n=1,2,3,4,\ldots$.

Za $n=1$ i $n=2$ dobivamo $a\in\mathbb N$, ali $a$ nije znamenka.

Za $n=5$ dobivamo

$$a=\frac{90}{5\cdot6}=3,$$

a za $n=9$ dobivamo

$$a=\frac{90}{9\cdot10}=1.$$

Za $n>9$ razlomak $\dfrac{90}{n(n+1)}$ je manji od $1$, pa su $a=1$ i $a=3$ jedina rješenja zadatka.