6. Zadatak

Zadani izraz može se raspisati na sljedeći način:

$$\begin{aligned} (a+b)^5-(a^5+b^5) &=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5-a^5-b^5\\ &=5(a^4b+2a^3b^2+2a^2b^3+ab^4) \tag{*}\\ &=5ab(a^3+2a^2b+2ab^2+b^3)\\ &=5ab(a+b)(a^2+ab+b^2). \end{aligned}$$

Iz (*) vidimo da je dani izraz uvijek djeljiv s $5$.

Dokažimo da je djeljiv i s $2$. To očito vrijedi ukoliko je barem jedan od brojeva $a$ i $b$ paran. U suprotnom, $a$ i $b$ su neparni pa je $a+b$ paran broj. Dakle i u tom slučaju je dani izraz djeljiv s $2$.

Zaključujemo da zadani broj završava znamenkom $0$ za sve prirodne brojeve $a$ i $b$.