7. Zadatak

Prvo rješenje.

Zadani skup je skup svih točaka za koje je zbroj udaljenosti od točaka $-3$ i $3$ iznosi $10$ pa je to elipsa. Za nju vrijedi da je $2a=10$ (zbroj udaljenosti od žarišta), tj. $a=5$.

Žarišta su joj točke $(3,0)$ i $(-3,0)$ pa je $e=3$. Sada možemo izračunati

$$b=\sqrt{a^2-e^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4.$$

Dakle, jednadžba zadane elipse je

$$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1,$$

odnosno $16x^2+25y^2=400$.

Dani pravac prolazi točkama $(-3,4)$ i $(-8,1)$ pa je njegov koeficijent smjera

$$k_p=\frac{1-4}{-8-(-3)}=\frac35.$$

Traženu točku ćemo odrediti kao diralište jedne od tangenta zadane elipse paralelne danom pravcu.

Tangenta na elipsu u točki $(x_0,y_0)$ ima jednadžbu

$$b^2x_0x+a^2y_0y=a^2b^2,$$

pa joj je koeficijent smjera

$$k_t=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}=-\frac{16x_0}{25y_0}.$$

Iz uvjeta paralelnosti pravca i tangente dobijemo

$$-\frac{16x_0}{25y_0}=\frac35,$$

odnosno $y_0=-\dfrac{16}{15}x_0$. Uvrštavanjem u jednadžbu tangente dobijemo

$$16x_0^2+25\left(\frac{16}{15}x_0\right)^2=400,$$

odakle je $x_0=\pm3$.

Dakle, točke dodira tangente i elipse su

$$T_1\left(-3,\frac{16}{5}\right)\qquad\text{i}\qquad T_2\left(3,-\frac{16}{5}\right).$$

Sa slike vidimo da je traženo rješenje

$$T_1\left(-3,\frac{16}{5}\right).$$

Drugo rješenje.

Kao u prvom rješenju odredimo jednadžbu elipse $16x^2+25y^2=400$, i koeficijent smjera danog pravca $k=\dfrac35$.

Traženu točku ćemo odrediti kao diralište jedne od tangenta zadane elipse paralelne danom pravcu.

Da bismo odredili jednadžbe tangenti s koeficijentom smjera $k=\dfrac35$, koristimo uvjet dodira

$$a^2k^2+b^2=l^2.$$ $$l^2=25\cdot\left(\frac35\right)^2+16=9+16=25.$$

Stoga su pravci

$$y=\frac35x+5\qquad\text{i}\qquad y=\frac35x-5$$

tangente.

Sa slike vidimo da nam treba “gornja” tangenta, $y=\dfrac35x+5$.

Odredimo njeno diralište s elipsom. Rješavanjem sustava

$$\begin{cases} 16x^2+25y^2=400,\\ y=\dfrac35x+5 \end{cases}$$

dobivamo jednadžbu $16x^2+(3x+25)^2=400$, koja se svodi na $x^2+6x+9=0$, pa je rješenje sustava $x=-3,\ y=\dfrac{16}{5}$.

Tražena točka je

$$\left(-3,\frac{16}{5}\right).$$

Napomena. Do jednadžbe elipse možemo doći i ovako:

$$|(x+iy)+3|+|(x+iy)-3|=10$$ $$\sqrt{(x+3)^2+y^2}+\sqrt{(x-3)^2+y^2}=10$$ $$\sqrt{(x+3)^2+y^2}=10-\sqrt{(x-3)^2+y^2}$$ $$(x+3)^2+y^2=100-20\sqrt{(x-3)^2+y^2}+(x-3)^2+y^2$$ $$10\sqrt{(x-3)^2+y^2}=50-6x$$ $$100\bigl((x-3)^2+y^2\bigr)=2500-600x+36x^2$$ $$16x^2+25y^2=400.$$