Osnovna škola Srednja škola A Srednja škola B

Pretraži zadatke

Učenik može koristiti osnovne filtere, dok Prof. može dodatno filtrirati zadatke prema temama.

Pročitaj više →

←Vrati se na zadatke

Srednja škola

4. razred

A varijanta

Školsko natjecanje

2011. godina

Bodovi: 4

Područja

Algebra i funkcije

Teme

Kompleksni brojevi
Kvadratna funkcija i jednadžba

Zadaci ovog natjecanja

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

2. Zadatak

Neka je $z$ nultočka polinoma

z^2-2z\cos\frac{\pi}{n}+1.

Odredi sve moguće vrijednosti izraza $z^n$ .

Rješenje

Rješenja kvadratne jednadžbe

z^2-2z\cos\frac{\pi}{n}+1=0

su

z=\frac{2\cos\frac{\pi}{n}\pm\sqrt{4\cos^2\frac{\pi}{n}-4}}{2} =\cos\frac{\pi}{n}\pm i\sin\frac{\pi}{n},

pa je

\begin{aligned} z^n&=\left(\cos\frac{\pi}{n}\pm i\sin\frac{\pi}{n}\right)^n\\ &=\cos\left(n\cdot\frac{\pi}{n}\right)\pm i\sin\left(n\cdot\frac{\pi}{n}\right)\\ &=\cos\pi\pm i\sin\pi\\ &=-1\pm i\cdot0=-1. \end{aligned}

Jedino rješenje je $z^n=-1$ .

Izvor

Ministarstvo znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske · Agencija za odgoj i obrazovanje · Hrvatsko matematičko društvo

2011-SS-skolsko-A-1234-zad.pdf
2011-SS-skolsko-A-1234-rj.pdf

Matematički zadaci s natjecanja

Neovisni volonterski projekt. Ovo nije službena stranica Hrvatskog matematičkog društva, Agencije za odgoj i obrazovanje ni nadležnog ministarstva.

Izvori i ustanove navedeni su uz svaki zadatak.

Privatnost Politika kolačića

Zadaci

Osnovna škola
Srednja škola A
Srednja škola B

Korisni linkovi

Kako koristiti stranicu
Matematička natjecanja
Hrvatsko matematičko društvo

Vidiš neku grešku?

Javi nam ako tekst, formula, tema, slika ili rješenje nisu točni.

Projekt je razvio i održava Petar.

Može jedan kolačić?

Analitika nam pomaže poboljšati stranicu — ali samo ako je tebi to prihvatljivo.

Postavke kolačića

Ti odlučuješ smijemo li uključiti analitiku. Nužna pohrana uvijek je uključena jer omogućuje funkcije koje sam zatražiš.

NužnoLista za ispis, filtri i tvoj odabir privatnosti.

AnalitikaGoogle Analytics 4, samo uz tvoju privolu.

Pogledaj Politiku kolačića za potpuni popis pohrane, svrhe i trajanja.

Prijavi grešku

Moguće su pogreške u prijepisu, formulama, temama, slikama ili rješenjima. Hvala što nam pomažeš poboljšati stranicu.

Vrsta problemaOpis problemaKontakt e-mail neobaveznoE-mail koristimo samo ako trebamo dodatno objašnjenje ili ti želimo javiti da je problem ispravljen. Kako obrađujemo podatke.Web-stranica

Hvala na prijavi

Prijava je poslana i bit će pregledana.

Lista za ispis 0

Sortiraj:

Sadržaj za ispis Zadatak Uključi rješenja