3. Zadatak

Prvo rješenje.

Tražimo sve troznamenkaste brojeve za koje $1000$ dijeli $n^2-n$.

Budući da je $1000=2^3\cdot5^3$, a 2 i 5 su relativno prosti, $n^2-n$ je višekratnik od 1000 ako i samo ako je višekratnik od 8 i višekratnik od 125.

Kako je $n^2-n=n(n-1)$, a $n$ i $n-1$ su relativno prosti, zaključujemo da $125$ dijeli $n^2-n$ ako i samo ako $125\mid n$ ili $125\mid n-1$.

Analogno zaključujemo da $8\mid n$ ili $8\mid n-1$.

• Ne postoji troznamenkasti prirodni broj $n$ takav da vrijedi $8\mid n$ i $125\mid n$.
• Ne postoji troznamenkasti prirodni broj $n$ takav da vrijedi $8\mid n-1$ i $125\mid n-1$.
• Jedini troznamenkasti prirodni broj $n$ za koji vrijedi $8\mid n-1$ i $125\mid n$ je $n=625$.
• Jedini troznamenkasti prirodni broj $n$ za koji vrijedi $8\mid n$ i $125\mid n-1$ je $n=376$.

Rješenja su $376$ i $625$.

Napomena. Jednom kad zaključimo da $125$ dijeli $n$ ili $n-1$, možemo provjeriti sve takve troznamenkaste brojeve. To je ukupno $14$ brojeva:

$$125,126,250,251,375,376,500,501,625,626,750,751,875,876.$$

Drugo rješenje.

Neka je $n=\overline{abc}$. Tada postoji prirodni broj $k$ takav da je

$$(100a+10b+c)^2=1000k+100a+10b+c,$$

tj.

$$10000a^2+100b^2+c^2+2000ab+200ac+20bc=1000k+100a+10b+c. \tag{♠}$$

Lijeva strana pri dijeljenju s 10 daje isti ostatak kao i broj $c^2$, a desna strana daje ostatak $c$. Dakle, $c$ i $c^2$ moraju imati istu zadnju znamenku. Jedine mogućnosti za $c$ su 0, 1, 5 i 6.

• Uvrstimo li $c=0$ u (♠) i podijelimo s 10, dobivamo

$$10(10a+b)^2=100k+10a+b.$$

Budući da je $b<10$, zaključujemo da mora vrijediti $b=0$. Nadalje, vrijedi

$$1000a^2=100k+10a,\qquad\text{tj.}\qquad 100a^2=10k+a,$$

iz čega zaključujemo da je $a=0$. U ovom slučaju nema rješenja jer $\overline{abc}=000$ nije troznamenkasti broj.

• Uvrstimo li $c=1$ u (♠) i podijelimo s 10, dobivamo

$$1000a^2+10b^2+200ab+20a+2b=100k+10a+b.$$

Promatrajući opet ostatke pri dijeljenju s 10 zaključujemo da $2b$ i $b$ imaju istu zadnju znamenku, tj. da je $b=0$. Nakon toga zaključujemo da je $a=0$. Ni u ovom slučaju nema rješenja jer $\overline{abc}=001$ nije troznamenkasti broj.

• Uvrstimo li $c=5$ u (♠), nakon sređivanja i dijeljenja s 10, dobivamo

$$1000a^2+10b^2+2+200ab+100a+10b=100k+10a+b.$$

Promatrajući ostatak pri dijeljenju s 10, zaključujemo da je $b=2$. Nadalje, vrijedi

$$1000a^2+40+2+400a+100a+20=100k+10a+2,$$

tj. $100a^2+4+50a+2=10k+a$. Dakle, $9a$ daje ostatak 4 pri dijeljenju s 10 i zato mora biti $a=6$. Dobili smo rješenje $n=625$.

• Uvrstimo li $c=6$ u (♠), nakon sređivanja i dijeljenja s 10, dobivamo

$$1000a^2+10b^2+3+200ab+120a+12b=100k+10a+b.$$

Promatrajući ostatke pri dijeljenju s 10, zaključujemo da je $b=7$. Nadalje, vrijedi

$$1000a^2+490+3+1400a+120a+84=100k+10a+7,$$

tj. $100a^2+49+142a+8=10k+a$. Slijedi da je $a=3$. Dobili smo rješenje $n=376$.

Traženi brojevi su $n=376$ i $n=625$.