5. Zadatak
Karlo i Lovro igraju sljedeću igru. Karlo će razrezati papir dimenzija na pravokutnike cjelobrojnih dimenzija kojima je barem jedna dimenzija 1. Nakon toga će Lovro odabrati prirodni broj i Karlo će mu dati onoliko novčića koliko iznosi ukupna površina svih pravokutnika dimenzija i . Lovro će odabrati tako da od Karla dobije što više novčića, a Karlo bi želio uštedjeti i pritom dati Lovri što manje novčića. Odredi najmanji mogući broj novčića koje će Karlo dati Lovri.
Rješenje
Tvrdimo da će Karlo dati Lovri najmanje 12 novčića.
Pretpostavimo da postoji način da Karlo razreže papir tako da Lovri mora dati (strogo) manje od 12 novčića. Tim načinom rezanja Karlo bi napravio najviše 11 pravokutnika dimenzija , pet pravokutnika dimenzija , tri pravokutnika dimenzija , dva pravokutnika dimenzija , dva pravokutnika dimenzija , te po jedan pravokutnik dimenzija , , i .
Svi ti pravokutnici zajedno bi imali površinu
Budući da je , Karlo bi uz sve te pravokutnike morao napraviti još barem jedan pravokutnik kako bi iskoristio čitav papir dimenzija . Zato je nemoguće da Karlo da Lovri manje od 12 novčića.
Sljedeći primjer pokazuje da Karlo može razrezati papir tako da bude siguran da će Lovri trebati dati najviše 12 novčića.
