4. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $a$ duljina stranice kvadrata $ABCD$.

Budući da je $ABM$ polovica jednakostraničnog trokuta vrijedi

$$|AB|=|BM|\sqrt3,\qquad\text{tj.}\qquad |BM|=\frac{a}{\sqrt3}$$

i

$$|AM|=2|BM|=\frac{2a}{\sqrt3}.$$

Budući da je i $MCN$ polovica jednakostraničnog trokuta vrijedi

$$|CM|=|BC|-|BM|=a-\frac{a}{\sqrt3},$$ $$|CN|=|CM|\sqrt3=a\sqrt3-a,$$ $$|MN|=2|CM|=2a-\frac{2a}{\sqrt3}.$$

Neka je točka $X$ nožište okomice iz točke $N$ na dužinu $AM$.

Budući da je $\angle AMB=60^\circ$ i $\angle NMC=60^\circ$, vrijedi i $\angle XMN=\angle AMN=60^\circ$. Zato je i trokut $MNX$ polovica jednakostraničnog trokuta pa vrijedi

$$|MX|=a-\frac{a}{\sqrt3},\qquad |NX|=a\sqrt3-a.$$

Konačno,

$$|AX|=|AM|-|XM|=\frac{2a}{\sqrt3}-\left(a-\frac{a}{\sqrt3}\right)=a\sqrt3-a.$$

Uočavamo da je $|AX|=|XN|$, pa je trokut $ANX$ jednakokračan i pravokutan (s pravim kutom u vrhu $X$). Stoga je $\angle XAN=45^\circ$, odnosno $\angle MAN=45^\circ$.

Drugo rješenje.

Neka je $a$ duljina stranice kvadrata $ABCD$.

Neka je točka $T$ nožište visine iz vrha $A$ na stranicu $MN$ u trokutu $AMN$.

Budući da je $\angle AMB=60^\circ$ i $\angle NMC=60^\circ$, slijedi da je $\angle AMT=60^\circ$. Pravokutni trokuti $ABM$ i $ATM$ imaju iste kutove i zajedničku hipotenuzu $AM$, pa zaključujemo da su sukladni.

Slijedi da je $|AT|=|AB|=a$ i $\angle MAT=\angle MAB=30^\circ$.

Trokuti $ADN$ i $ATN$ su sukladni jer su oba pravokutni, imaju zajedničku hipotenuzu $AN$ i vrijedi $|AT|=a=|AD|$. Zato je

$$\angle TAN=\angle DAN.$$

Sada zaključujemo da je

$$\angle MAN=\angle MAT+\angle TAN=\frac12\angle BAT+\frac12\angle TAD=\frac12\angle BAD=45^\circ.$$

Napomena: Jednom kad znamo da je $\angle TAN=\angle NAD$ i da je $\angle BAT=\angle BAM+\angle MAT=60^\circ$, možemo zaključiti da je

$$2\angle TAN=\angle TAN+\angle NAD=\angle DAT=90^\circ-\angle BAT=30^\circ,$$

tj. $\angle TAN=15^\circ$ i $\angle MAN=\angle MAT+\angle TAN=30^\circ+15^\circ=45^\circ$.

Treće rješenje.

Neka je $a$ duljina stranice kvadrata $ABCD$.

Budući da je $ABM$ polovica jednakostraničnog trokuta vrijedi

$$|AB|=|BM|\sqrt3,\qquad\text{tj.}\qquad |BM|=\frac{a}{\sqrt3}.$$

Budući da je i $MCN$ polovica jednakostraničnog trokuta vrijedi

$$|CM|=|BC|-|BM|=a-\frac{a}{\sqrt3}\qquad\text{i}\qquad |CN|=|CM|\sqrt3=a\sqrt3-a.$$

Konačno, zaključujemo da je

$$|DN|=|CD|-|CN|=2a-a\sqrt3.$$

Neka je točka $E$ na dužini $AM$ takva da je $|AE|=|AB|$.

Budući da je $\angle AMB=60^\circ$ i $\angle BAM=30^\circ$, u jednakokračnom trokutu $ABE$ vrijedi

$$\angle ABE=\frac{180^\circ-\angle BAE}{2}=75^\circ.$$

Neka je točka $F$ nožište visine iz točke $E$ na stranicu $AB$. Budući da je $\angle EAF=30^\circ$, trokut $AFE$ je polovica jednakostraničnog trokuta i vrijedi

$$|EF|=\frac a2\qquad\text{i}\qquad |AF|=|EF|\sqrt3=\frac{a\sqrt3}{2}.$$

Slijedi da je

$$|FB|=|AB|-|AF|=a-\frac{a\sqrt3}{2}.$$

Budući da je $|AD|=a=2\cdot|EF|$ i $|DN|=a(2-\sqrt3)=2\cdot|FB|$, zaključujemo da su pravokutni trokuti $AND$ i $EBF$ slični. Zato je $\angle AND=75^\circ$. Sada zaključujemo da je

$$\angle MAN=\angle BAN-\angle BAM=\angle AND-\angle BAM=75^\circ-30^\circ=45^\circ.$$

Četvrto rješenje.

Neka je $a$ duljina stranice kvadrata $ABCD$.

Budući da je $ABM$ polovica jednakostraničnog trokuta vrijedi

$$|AB|=|BM|\sqrt3,\qquad\text{tj.}\qquad |BM|=\frac{a}{\sqrt3}.$$

Budući da je i $MCN$ polovica jednakostraničnog trokuta vrijedi

$$|CM|=|BC|-|BM|=a-\frac{a}{\sqrt3}\qquad\text{i}\qquad |CN|=|CM|\sqrt3=a\sqrt3-a.$$

Konačno, zaključujemo da je $|DN|=|CD|-|CN|=2a-a\sqrt3$.

Neka je točka $P$ na stranici $AD$ takva da je $\angle DNP=60^\circ$, tj. da je $DNP$ polovica jednakostraničnog trokuta.

Tada je

$$|DP|=|DN|\sqrt3=2a\sqrt3-3a$$

i

$$|NP|=2|DN|=4a-2a\sqrt3.$$

Nadalje,

$$|AP|=|AD|-|DP|=a-(2a\sqrt3-3a)=4a-2a\sqrt3.$$

Dakle, $|NP|=|AP|$. Budući da je $\angle NPD=30^\circ$, tj. $\angle NPA=150^\circ$, slijedi da je

$$\angle NAP=15^\circ.$$

Zaključujemo da je

$$\angle MAN=\angle MAD-\angle NAP=60^\circ-15^\circ=45^\circ.$$